与えられた10個の積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (2) $\int (2x+3)^3 dx$ (3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$ (4) $\int \sqrt{2x+3} dx$ (5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$ (6) $\int \sin 3x dx$ (7) $\int e^{2x+3} dx$ (8) $\int x(2-x)^3 dx$ (9) $\int x\sqrt{1-x} dx$ (10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

解析学積分置換積分
2025/7/4
## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた10個の積分を計算する問題です。
(1) 12x+1dx\int \frac{1}{2x+1} dx
(2) (2x+3)3dx\int (2x+3)^3 dx
(3) 1(4x3)3dx\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx
(4) 2x+3dx\int \sqrt{2x+3} dx
(5) 123xdx\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx
(6) sin3xdx\int \sin 3x dx
(7) e2x+3dx\int e^{2x+3} dx
(8) x(2x)3dx\int x(2-x)^3 dx
(9) x1xdx\int x\sqrt{1-x} dx
(10) xx+1dx\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx

2. 解き方の手順

(1) 12x+1dx\int \frac{1}{2x+1} dx
置換積分を行います。u=2x+1u = 2x+1 とすると、du=2dxdu = 2 dx より dx=12dudx = \frac{1}{2} du
したがって、
12x+1dx=1u12du=121udu=12lnu+C=12ln2x+1+C\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x+1| + C
(2) (2x+3)3dx\int (2x+3)^3 dx
置換積分を行います。u=2x+3u = 2x+3 とすると、du=2dxdu = 2 dx より dx=12dudx = \frac{1}{2} du
したがって、
(2x+3)3dx=u312du=12u3du=12u44+C=18(2x+3)4+C\int (2x+3)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} (2x+3)^4 + C
(3) 1(4x3)3dx\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx
置換積分を行います。u=4x3u = 4x-3 とすると、du=4dxdu = 4 dx より dx=14dudx = \frac{1}{4} du
したがって、
1(4x3)3dx=1u314du=14u3du=14u22+C=18(4x3)2+C\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{8(4x-3)^2} + C
(4) 2x+3dx\int \sqrt{2x+3} dx
置換積分を行います。u=2x+3u = 2x+3 とすると、du=2dxdu = 2 dx より dx=12dudx = \frac{1}{2} du
したがって、
2x+3dx=u12du=12u1/2du=12u3/23/2+C=13(2x+3)3/2+C\int \sqrt{2x+3} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3} (2x+3)^{3/2} + C
(5) 123xdx\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx
置換積分を行います。u=23xu = 2-3x とすると、du=3dxdu = -3 dx より dx=13dudx = -\frac{1}{3} du
したがって、
123xdx=1u(13)du=13u1/2du=13u1/21/2+C=2323x+C\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C
(6) sin3xdx\int \sin 3x dx
置換積分を行います。u=3xu = 3x とすると、du=3dxdu = 3 dx より dx=13dudx = \frac{1}{3} du
したがって、
sin3xdx=sinu13du=13sinudu=13(cosu)+C=13cos3x+C\int \sin 3x dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin u du = \frac{1}{3} (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C
(7) e2x+3dx\int e^{2x+3} dx
置換積分を行います。u=2x+3u = 2x+3 とすると、du=2dxdu = 2 dx より dx=12dudx = \frac{1}{2} du
したがって、
e2x+3dx=eu12du=12eudu=12eu+C=12e2x+3+C\int e^{2x+3} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x+3} + C
(8) x(2x)3dx\int x(2-x)^3 dx
展開してから積分します。
(2x)3=812x+6x2x3(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3
したがって、
x(2x)3dx=x(812x+6x2x3)dx=(8x12x2+6x3x4)dx=4x24x3+32x415x5+C\int x(2-x)^3 dx = \int x(8 - 12x + 6x^2 - x^3) dx = \int (8x - 12x^2 + 6x^3 - x^4) dx = 4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2} x^4 - \frac{1}{5} x^5 + C
(9) x1xdx\int x\sqrt{1-x} dx
置換積分を行います。u=1xu = 1-x とすると、x=1ux = 1-u, dx=dudx = -du
したがって、
x1xdx=(1u)u(du)=(u1/2u3/2)du=(u3/23/2u5/25/2)+C=23(1x)3/2+25(1x)5/2+C\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u} (-du) = -\int (u^{1/2} - u^{3/2}) du = -\left(\frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{5/2}}{5/2}\right) + C = -\frac{2}{3} (1-x)^{3/2} + \frac{2}{5} (1-x)^{5/2} + C
(10) xx+1dx\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx
置換積分を行います。u=x+1u = x+1 とすると、x=u1x = u-1, dx=dudx = du
したがって、
xx+1dx=u1udu=(u1/2u1/2)du=u3/23/2u1/21/2+C=23(x+1)3/22x+1+C\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2\sqrt{x+1} + C

3. 最終的な答え

(1) 12ln2x+1+C\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C
(2) 18(2x+3)4+C\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C
(3) 18(4x3)2+C-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C
(4) 13(2x+3)3/2+C\frac{1}{3} (2x+3)^{3/2} + C
(5) 2323x+C-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C
(6) 13cos3x+C-\frac{1}{3} \cos 3x + C
(7) 12e2x+3+C\frac{1}{2} e^{2x+3} + C
(8) 4x24x3+32x415x5+C4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2} x^4 - \frac{1}{5} x^5 + C
(9) 23(1x)3/2+25(1x)5/2+C-\frac{2}{3} (1-x)^{3/2} + \frac{2}{5} (1-x)^{5/2} + C
(10) 23(x+1)3/22x+1+C\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2\sqrt{x+1} + C

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