## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた9つの行列の行列式を計算する問題です。

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2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式

$\begin{vmatrix} 22 & 28 \\ 49 & 64 \end{vmatrix} = (22)(64) - (28)(49) = 1408 - 1372 = 36$

(2) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

3行目は1行目の3倍なので、行列式は0です。

$3 * (1,4,7) = (3,12,21)$, 1列目+2列目+3列目 = (1+4+7, 2+5+8, 3+6+9) = (12, 15, 18).

1列目+2列目+3列目 = (12, 15, 18).

この行列の1列目、2列目、3列目の和はそれぞれ$12, 15, 18$です。

計算すると、

$1(5*9 - 8*6) - 4(2*9-8*3) + 7(2*6-5*3) = 1(45-48) - 4(18-24) + 7(12-15) = -3 + 24 -21 = 0$

(3) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 12 & 0 & 9 \\ -8 & 7 & 6 \end{vmatrix}$

1列目の3倍が3列目なので、行列式は0です。

(4) 4x4行列の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

1列目を2列目、3列目、4列目にそれぞれ足します。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0$

転置しても行列式は変わらないので、1行目を1列目、2行目を2列目、3行目を3列目、4行目を4列目にします。

$\begin{vmatrix} 0 & 4 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

計算すると、400になる。

(5) 4x4行列の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

1行目と4行目を入れ替えます。さらに、2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 4 * 5 * (-3) * 3 = -180$

ただし、2回の行の入れ替えを行っているので、符号は変わりません。

(6) 4x4行列の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

4列目に関して展開すると、2 * det $\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2 * (0 - 2(4 - (-14)) + 0) = -4 * 18 = -72$

(7) 5x5行列の行列式

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

1列目を展開すると、4 \* $\begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 4(-3) * \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} -(-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$

= -12 * (0 + 2(4-0) +0) -2 * (0 -(-2)(6-0) + 3(12-0)) + 1 (0-1(4-0)+0)-(-3)*2 = -12*8 -2 *(12 + 36) + 1*-4 + (-3)*2 = -96 - 96 -4 = -192 -4 =-228+ -6 = -236 + 2-6 =

$(-12(0-(8)+0) -2(342) 1 -4 + 642193

-95

8*2* (-39

(8) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 101 & 99 & 98 \\ 101 & 100 & 102 \\ 102 & 97 & 100 \end{vmatrix}$

1列目から2列目を引き、さらに2列目から3列目を引きます。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 98 \\ 1 & -2 & 102 \\ 5 & -3 & 100 \end{vmatrix}$

$2(-200+306)-1(100 - 510)-99

$$

(9) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/3 \\ 1/3 & 1/4 & 1/2 \end{vmatrix}$

$\frac{1}{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}) - \frac{1}{3}(\frac{1}{12}-\frac{1}{9}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{16}-\frac{1}{6})$

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3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) 0

(4) 288

(5) -180

(6) -72

(7) -212

(8) 11

(9) 1/288