x, y を実数とする。以下の条件について、必要条件・十分条件を判定する。 (1) $(x-1)(y-2) = 0$ であることは $|x-1| + |y-2| = 0$ であるための ア。 (2) $x > 1$ かつ $y > 1$ であることは $x + y > 1$ であるための イ。 (3) $x = 3$ または $y = -1$ であることは $xy + x - 3y - 3 = 0$ であるための ウ。 (4) $\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは $\angle A > 90^\circ$ であるための エ。

1. 問題の内容

x, y を実数とする。以下の条件について、必要条件・十分条件を判定する。

(1) $(x-1)(y-2) = 0$ であることは $|x-1| + |y-2| = 0$ であるための ア。

(2) $x > 1$ かつ $y > 1$ であることは $x + y > 1$ であるための イ。

(3) $x = 3$ または $y = -1$ であることは $xy + x - 3y - 3 = 0$ であるための ウ。

(4) $\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは $\angle A > 90^\circ$ であるための エ。

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(y-2) = 0$ は $x = 1$ または $y = 2$ を意味する。

$|x-1| + |y-2| = 0$ は $|x-1| = 0$ かつ $|y-2| = 0$ である必要があり、これは $x = 1$ かつ $y = 2$ を意味する。

したがって、$(x-1)(y-2) = 0$ ならば $|x-1| + |y-2| = 0$ は必ずしも成り立たない（$x=1$ かつ $y=2$ 以外の例が存在する）。

しかし、$|x-1| + |y-2| = 0$ ならば $(x-1)(y-2) = (1-1)(2-2) = 0$ は成り立つ。

よって、$(x-1)(y-2) = 0$ であることは $|x-1| + |y-2| = 0$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。したがって、ア = 0。

(2) $x > 1$ かつ $y > 1$ ならば $x + y > 1 + 1 = 2 > 1$ である。したがって、$x + y > 1$ は成り立つ。

しかし、$x + y > 1$ であっても、$x > 1$ かつ $y > 1$ であるとは限らない。例えば、$x = 2$ かつ $y = -0.5$ のとき、$x + y = 1.5 > 1$ であるが、$y < 1$ である。

よって、$x > 1$ かつ $y > 1$ であることは $x + y > 1$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。したがって、イ = 1。

(3) $x = 3$ または $y = -1$ とする。

$x = 3$ のとき、$xy + x - 3y - 3 = 3y + 3 - 3y - 3 = 0$。

$y = -1$ のとき、$xy + x - 3y - 3 = -x + x + 3 - 3 = 0$。

したがって、$x = 3$ または $y = -1$ ならば $xy + x - 3y - 3 = 0$ は成り立つ。

逆に、$xy + x - 3y - 3 = 0$ を変形すると、$x(y + 1) - 3(y + 1) = 0$ より $(x - 3)(y + 1) = 0$。

したがって、$x = 3$ または $y = -1$。

よって、$x = 3$ または $y = -1$ であることは $xy + x - 3y - 3 = 0$ であるための必要十分条件である。したがって、ウ = 2。

(4) $\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは $\angle A > 90^\circ$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

$\triangle ABC$ が鈍角三角形であるためには、$\angle A, \angle B, \angle C$ のいずれか1つが $90^\circ$ より大きい必要がある。

例えば、$\angle B > 90^\circ$ でもよい。

したがって、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であることは $\angle A > 90^\circ$ であるための必要条件でも十分条件でもない。したがって、エ = 3。

3. 最終的な答え

ア = 0

イ = 1

ウ = 2

エ = 3