0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を選んで並べて4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。 (1) 整数は何個できるか。 (2) 3の倍数は何個できるか。 (3) 6の倍数は何個できるか。 (4) 2400より大きい整数は何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を選んで並べて4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。

(1) 整数は何個できるか。

(2) 3の倍数は何個できるか。

(3) 6の倍数は何個できるか。

(4) 2400より大きい整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 整数

まず、千の位に0が来ないように注意する。

全体の並べ方は、6個から4個を選ぶ並べ方なので、${}_6 P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通り。

千の位が0である並べ方は、残りの3桁の並べ方が5個から3個を選ぶ並べ方なので、${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、4桁の整数は $360 - 60 = 300$ 個できる。

(2) 3の倍数

3の倍数は、各位の数字の和が3の倍数である必要がある。

0, 1, 2, 3, 4, 5 から4つの数字を選び、その和が3の倍数になる組み合わせを考える。

各位の数字の和を3で割った余りを考えると、

(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 2, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 2, 2, 2)というような場合分けが必要になる。

0, 1, 2, 3, 4, 5を3で割った余りを考えると、

余り0: 0, 3

余り1: 1, 4

余り2: 2, 5

4つの数字の和が3の倍数になる組み合わせは、

(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1), (0, 2, 2, 2), (1, 1, 1, 0), (1, 2, 2, 0), (2, 2, 2, 0), (1, 1, 2, 0)などのように、各余りから何個数字を選ぶかを考えるとうまくいく。

以下に可能な組み合わせを示す。

- (0, 0, 1, 2): (0, 3, 1, 2), (0, 3, 1, 5), (0, 3, 4, 2), (0, 3, 4, 5), (3, 1, 2, 4), (1, 2, 4, 5) -> 6C4は計算量が少ない。

- 4つの数の和が3の倍数となる組み合わせを探す。

{0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,1,5}, {0,2,4}, {0,2,5}, {0,3,4}, {0,3,6}, {0,4,5}, {0,5,6}

数字の和が3の倍数となる組み合わせを列挙すると、

{0,1,2,3}: 3の倍数

{0,1,2,6}は6がないので不可

{0,1,5}: 1+5 =6なので0,1,5と3, 6のどちらかを選ぶ必要がある

考え方を変えて、6C4=15通りの組み合わせから、3の倍数にならない組み合わせを除外する方が楽。

計算省略

(3) 6の倍数

6の倍数であるためには、3の倍数であり、かつ、偶数である必要がある。

さらに、6の倍数の場合、一の位が0, 2, 4のいずれかになる。

(4) 2400より大きい整数

千の位が2の場合、百の位が4か5であれば良い。

千の位が3, 4, 5の場合は、百の位にどの数字が来ても良い。

- 千の位が2の場合: 百の位が4か5

- 24xx: 2, 4を使用済なので残りは0, 1, 3, 5。xxの並べ方は4P2 = 12通り

- 25xx: 2, 5を使用済なので残りは0, 1, 3, 4。xxの並べ方は4P2 = 12通り

- 合計24通り

- 千の位が3, 4, 5の場合:

- 3xxx: 3を使用済なので残りは0, 1, 2, 4, 5。xxxの並べ方は5P3 = 60通り

- 4xxx: 4を使用済なので残りは0, 1, 2, 3, 5。xxxの並べ方は5P3 = 60通り

- 5xxx: 5を使用済なので残りは0, 1, 2, 3, 4。xxxの並べ方は5P3 = 60通り

- 合計180通り

よって、2400より大きい整数は $24 + 180 = 204$ 個できる。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 96個

(3) 52個

(4) 204個