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## 練習17

代数学二次関数最大値最小値平方完成定義域
2025/7/4
## 練習17
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1. 問題の内容

関数 y=x2−4x+1y = x^2 - 4x + 1 について、次の定義域における最大値と最小値を求めます。
(1) −2≤x≤1-2 \le x \le 1
(2) 1≤x≤41 \le x \le 4
(3) 4≤x≤54 \le x \le 5
(4) 0≤x≤40 \le x \le 4
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2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。
y=x2−4x+1=(x−2)2−4+1=(x−2)2−3y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3
このグラフは、頂点が (2,−3)(2, -3) で、下に凸の放物線です。各定義域における最大値と最小値を求めます。
(1) −2≤x≤1-2 \le x \le 1 のとき：
定義域の範囲は頂点 x=2x=2 を含みません。
x=−2x = -2 のとき、y=(−2−2)2−3=16−3=13y = (-2 - 2)^2 - 3 = 16 - 3 = 13
x=1x = 1 のとき、y=(1−2)2−3=1−3=−2y = (1 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2
よって、最大値は 1313、最小値は −2-2 です。
(2) 1≤x≤41 \le x \le 4 のとき：
頂点 x=2x=2 は定義域に含まれています。
x=2x = 2 のとき、y=(2−2)2−3=−3y = (2 - 2)^2 - 3 = -3 （これが最小値）
x=1x = 1 のとき、y=(1−2)2−3=1−3=−2y = (1 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2
x=4x = 4 のとき、y=(4−2)2−3=4−3=1y = (4 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1
よって、最大値は 11、最小値は −3-3 です。
(3) 4≤x≤54 \le x \le 5 のとき：
定義域の範囲は頂点 x=2x=2 を含みません。
x=4x = 4 のとき、y=(4−2)2−3=4−3=1y = (4 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1
x=5x = 5 のとき、y=(5−2)2−3=9−3=6y = (5 - 2)^2 - 3 = 9 - 3 = 6
よって、最大値は 66、最小値は 11 です。
(4) 0≤x≤40 \le x \le 4 のとき：
頂点 x=2x=2 は定義域に含まれています。
x=2x = 2 のとき、y=(2−2)2−3=−3y = (2 - 2)^2 - 3 = -3 （これが最小値）
x=0x = 0 のとき、y=(0−2)2−3=4−3=1y = (0 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1
x=4x = 4 のとき、y=(4−2)2−3=4−3=1y = (4 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1
よって、最大値は 11、最小値は −3-3 です。
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3. 最終的な答え

(1) 最大値: 13, 最小値: -2
(2) 最大値: 1, 最小値: -3
(3) 最大値: 6, 最小値: 1
(4) 最大値: 1, 最小値: -3
## 練習18
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1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求めます。
(1) y=x2−2x+3y = x^2 - 2x + 3 (0≤x≤30 \le x \le 3)
(2) y=−x2+4x−3y = -x^2 + 4x - 3 (1≤x≤41 \le x \le 4)
(3) y=3x2+6x−1y = 3x^2 + 6x - 1 (1≤x≤31 \le x \le 3)
(4) y=−2x2+14xy = -2x^2 + 14x (0≤x≤70 \le x \le 7)
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2. 解き方の手順

各関数を平方完成し、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。
(1) y=x2−2x+3=(x−1)2−1+3=(x−1)2+2y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2
頂点は (1,2)(1, 2)、下に凸の放物線。
x=0x = 0 のとき、y=(0−1)2+2=1+2=3y = (0 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3
x=1x = 1 のとき、y=(1−1)2+2=2y = (1 - 1)^2 + 2 = 2
x=3x = 3 のとき、y=(3−1)2+2=4+2=6y = (3 - 1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6
よって、最大値は 66、最小値は 22 です。
(2) y=−x2+4x−3=−(x2−4x)−3=−(x−2)2+4−3=−(x−2)2+1y = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x - 2)^2 + 4 - 3 = -(x - 2)^2 + 1
頂点は (2,1)(2, 1)、上に凸の放物線。
x=1x = 1 のとき、y=−(1−2)2+1=−1+1=0y = -(1 - 2)^2 + 1 = -1 + 1 = 0
x=2x = 2 のとき、y=−(2−2)2+1=1y = -(2 - 2)^2 + 1 = 1
x=4x = 4 のとき、y=−(4−2)2+1=−4+1=−3y = -(4 - 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3
よって、最大値は 11、最小値は −3-3 です。
(3) y=3x2+6x−1=3(x2+2x)−1=3(x+1)2−3−1=3(x+1)2−4y = 3x^2 + 6x - 1 = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3(x + 1)^2 - 3 - 1 = 3(x + 1)^2 - 4
頂点は (−1,−4)(-1, -4)、下に凸の放物線。
x=1x = 1 のとき、y=3(1+1)2−4=3(4)−4=12−4=8y = 3(1 + 1)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
x=3x = 3 のとき、y=3(3+1)2−4=3(16)−4=48−4=44y = 3(3 + 1)^2 - 4 = 3(16) - 4 = 48 - 4 = 44
よって、最大値は 4444、最小値は 88 です。
(4) y=−2x2+14x=−2(x2−7x)=−2(x−72)2+2(494)=−2(x−72)2+492y = -2x^2 + 14x = -2(x^2 - 7x) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + 2(\frac{49}{4}) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}
頂点は (72,492)(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})、上に凸の放物線。
x=0x = 0 のとき、y=−2(0−72)2+492=0y = -2(0 - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2} = 0
x=7x = 7 のとき、y=−2(7−72)2+492=0y = -2(7 - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2} = 0
x=72x = \frac{7}{2} のとき、y=492=24.5y = \frac{49}{2} = 24.5
頂点は定義域内にあるため、最大値は頂点のy座標。
よって、最大値は 492=24.5\frac{49}{2}=24.5、最小値は 00 です。
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3. 最終的な答え

(1) 最大値: 6, 最小値: 2
(2) 最大値: 1, 最小値: -3
(3) 最大値: 44, 最小値: 8
(4) 最大値: 49/2, 最小値: 0

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