$\log_2 5 \cdot \log_5 8$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_2 5 \cdot \log_5 8$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式を用いて、それぞれの対数を共通の底（例えば10）で表します。

底の変換公式は以下の通りです。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

したがって、

$\log_2 5 = \frac{\log 5}{\log 2}$

$\log_5 8 = \frac{\log 8}{\log 5}$

与えられた式に代入すると、

$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log 5}{\log 2} \cdot \frac{\log 8}{\log 5}$

$\log 5$が約分できるので、

$\frac{\log 5}{\log 2} \cdot \frac{\log 8}{\log 5} = \frac{\log 8}{\log 2}$

ここで、$8 = 2^3$なので、$log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2$

したがって、

$\frac{\log 8}{\log 2} = \frac{3 \log 2}{\log 2} = 3$

3. 最終的な答え

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