$1.5$, $\log_4 9$, $\log_8 125$ の値を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$1.5$, $\log_4 9$, $\log_8 125$ の値を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの値を計算します。

$1.5 = \frac{3}{2}$

$\log_4 9 = \log_4 3^2 = 2 \log_4 3 = 2 \frac{\log 3}{\log 4} = 2 \frac{\log 3}{2 \log 2} = \frac{\log 3}{\log 2} = \log_2 3$

ここで、$2^1 < 3 < 2^2$ なので、$1 < \log_2 3 < 2$。

$2^{1.5} = 2 \sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 < 3$

したがって、$1.5 < \log_2 3 < 2$。

$\log_4 9$ について、

$4^{1.5} = (2^2)^{1.5} = 2^3 = 8 < 9$

$4^2 = 16 > 9$

よって、$1.5 < \log_4 9 < 2$。

$\log_8 125 = \frac{\log 125}{\log 8} = \frac{\log 5^3}{\log 2^3} = \frac{3 \log 5}{3 \log 2} = \frac{\log 5}{\log 2} = \log_2 5$

ここで、$2^2 < 5 < 2^3$ なので、$2 < \log_2 5 < 3$。

$2^{2.5} = 2^2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656 > 5$

したがって、$2 < \log_2 5 < 2.5$。

$1.5 = \frac{3}{2} = 1.5$

$\log_4 9 = \frac{\log 9}{\log 4} = \frac{2 \log 3}{2 \log 2} = \frac{\log 3}{\log 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585$

$\log_8 125 = \frac{\log 125}{\log 8} = \frac{3 \log 5}{3 \log 2} = \frac{\log 5}{\log 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.322$

したがって、$1.5 < \log_4 9 < \log_8 125$。

3. 最終的な答え

$1.5, \log_4 9, \log_8 125$