定数 $a$ を含む関数 $y = -x^2 + 6ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 3$) について、最大値と最小値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ を含む関数 $y = -x^2 + 6ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 3$) について、最大値と最小値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 6ax - a = -(x^2 - 6ax) - a = -(x^2 - 6ax + 9a^2 - 9a^2) - a = -(x - 3a)^2 + 9a^2 - a$

これにより、この二次関数の軸は $x = 3a$ であり、上に凸なグラフであることがわかる。

定義域は $0 \le x \le 3$ である。

(1) 最大値を求める。

軸 $x = 3a$ が定義域の中央に位置する場合（$3a = \frac{3}{2}$、すなわち $a = \frac{1}{2}$ の付近）を考える必要がある。しかし、軸が定義域の範囲に入るか入らないかで場合分けする。

- $3a < 0$ のとき、すなわち $a < 0$ のとき：

定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなるので、$x=0$ で最大となる。

最大値は $y(0) = -0^2 + 6a(0) - a = -a$

- $0 \le 3a \le 3$ のとき、すなわち $0 \le a \le 1$ のとき：

軸が定義域内にあるので、$x=3a$ で最大となる。

最大値は $y(3a) = -(3a - 3a)^2 + 9a^2 - a = 9a^2 - a$

- $3 < 3a$ のとき、すなわち $1 < a$ のとき：

定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は小さくなるので、$x=3$ で最大となる。

最大値は $y(3) = -3^2 + 6a(3) - a = -9 + 18a - a = 17a - 9$

(2) 最小値を求める。

軸 $x = 3a$ が定義域の左端または右端にあるかで場合分けする。

- $3a \le \frac{3}{2}$ のとき、すなわち $a \le \frac{1}{2}$ のとき：

$x=3$ で最小となる。

最小値は $y(3) = -3^2 + 6a(3) - a = -9 + 18a - a = 17a - 9$

- $\frac{3}{2} < 3a$ のとき、すなわち $\frac{1}{2} < a$ のとき：

$x=0$ で最小となる。

最小値は $y(0) = -0^2 + 6a(0) - a = -a$

したがって場合分けが発生する。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

- $a < 0$ のとき、 $-a$

- $0 \le a \le 1$ のとき、$9a^2 - a$

- $1 < a$ のとき、$17a - 9$

(2) 最小値

- $a \le \frac{1}{2}$ のとき、$17a - 9$

- $\frac{1}{2} < a$ のとき、$-a$