公園にあるすべてのプランターに球根を植える方法を検討した結果、以下の3つの情報が得られた。 ア：1つのプランターに60個ずつ植えると、球根は150個不足する。 イ：1つのプランターに40個ずつ植えると、球根は430個以上余る。 ウ：半数のプランターに60個ずつ、残りのプランターに40個ずつ植えると、球根は余り、その数は160個未満である。 これらの情報から、購入した球根の個数として正しいのはどれか。

1. 問題の内容

公園にあるすべてのプランターに球根を植える方法を検討した結果、以下の3つの情報が得られた。

ア：1つのプランターに60個ずつ植えると、球根は150個不足する。

イ：1つのプランターに40個ずつ植えると、球根は430個以上余る。

ウ：半数のプランターに60個ずつ、残りのプランターに40個ずつ植えると、球根は余り、その数は160個未満である。

これらの情報から、購入した球根の個数として正しいのはどれか。

2. 解き方の手順

プランターの数を $x$ 個、購入した球根の個数を $y$ 個とする。

アより、

$y = 60x - 150$ (1)

イより、

$y > 40x + 430$ (2)

ウより、

$y = 60 \cdot \frac{x}{2} + 40 \cdot \frac{x}{2} + z$

ここで、$z$は余った球根の数で、$0 < z < 160$である。

よって、

$y = 30x + 20x + z = 50x + z$　(3)

ただし、$0 < z < 160$

(1)を(2)に代入すると、

$60x - 150 > 40x + 430$

$20x > 580$

$x > 29$

(1)を(3)に代入すると、

$60x - 150 = 50x + z$

$10x = 150 + z$

$x = 15 + \frac{z}{10}$

$0 < z < 160$より、$0 < \frac{z}{10} < 16$

したがって、$15 < x < 31$

$x$は整数であるから、$x$は30である。

これを(1)に代入すると

$y = 60 \cdot 30 - 150 = 1800 - 150 = 1650$

確認のため、(3)に代入する。

$1650 = 50 \cdot 30 + z$

$1650 = 1500 + z$

$z = 150$

$0 < z < 160$を満たしている。

(2)に代入する。

$1650 > 40 \cdot 30 + 430$

$1650 > 1200 + 430$

$1650 > 1630$

これは正しい。

3. 最終的な答え

1650