一辺の長さが5の正八面体について、以下の値を求めます。 (1) 正八面体の体積 $V$ (2) 正八面体に内接する球の半径 $r$

1. 問題の内容

一辺の長さが5の正八面体について、以下の値を求めます。

(1) 正八面体の体積 $V$

(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$

2. 解き方の手順

(1) 正八面体の体積 $V$ を求める。

正八面体は、底面が正方形である2つの正四角錐を底面で貼り合わせたものである。一辺の長さが $a$ である正方形の面積は $a^2$ である。

この正方形を底面とする正四角錐の高さを $h$ とする。

正八面体の一辺の長さが $a$ であるとき、正四角錐の高さ $h$ は、$h = \frac{\sqrt{2}}{2}a$ となる。

したがって、正八面体の体積 $V$ は、2つの正四角錐の体積の和であるから、$V = 2 \times \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{2}{3} a^2 h = \frac{2}{3} a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} a = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$ となる。

$a=5$ を代入すると、$V = \frac{\sqrt{2}}{3} \times 5^3 = \frac{125\sqrt{2}}{3}$ となる。

(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$ を求める。

正八面体の表面積 $S$ は、8つの正三角形の面積の和である。一辺の長さが $a$ である正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ であるから、$S = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$ となる。

正八面体の体積 $V$ は、内接球の半径 $r$ を用いて、$V = \frac{1}{3} r S$ と表せる。

したがって、$r = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} a^3}{2\sqrt{3} a^2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{6} a$ となる。

$a=5$ を代入すると、$r = \frac{5\sqrt{6}}{6}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 正八面体の体積 $V = \frac{125\sqrt{2}}{3}$

(2) 正八面体に内接する球の半径 $r = \frac{5\sqrt{6}}{6}$