関数列 $T_n(x)$ が以下の条件で定義されている。 $T_1(x) = x$ $T_2(x) = 2x^2 - 1$ $T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$ (for $n \ge 3$) (1) $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示す。 (2) $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ であることを示す。

1. 問題の内容

関数列 $T_n(x)$ が以下の条件で定義されている。

$T_1(x) = x$

$T_2(x) = 2x^2 - 1$

$T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$ (for $n \ge 3$)

(1) $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示す。

(2) $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法を用いて、$T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示す。

(i) $n=1, 2$ のとき、$T_1(x) = x$ は $x$ の1次式、$T_2(x) = 2x^2 - 1$ は $x$ の2次式であり、成立する。

(ii) $n=k-1, k$ のとき、$T_{k-1}(x)$ が $x$ の $(k-1)$ 次式、$T_k(x)$ が $x$ の $k$ 次式であると仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、$T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) - T_{k-1}(x)$ を考える。$2xT_k(x)$ は $x$ の $(k+1)$ 次式であり、$T_{k-1}(x)$ は $x$ の $(k-1)$ 次式であるから、$T_{k+1}(x)$ は $x$ の $(k+1)$ 次式となる。

したがって、数学的帰納法により、$T_n(x)$ は $x$ の $n$ 次式である。

(2) 数学的帰納法を用いて、$T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ を示す。

(i) $n=1$ のとき、$T_1(\cos \theta) = \cos \theta$ であり、$\cos(1\cdot \theta) = \cos \theta$ より成立する。

$n=2$ のとき、$T_2(\cos \theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = \cos(2\theta)$ (2倍角の公式) より成立する。

(ii) $n=k-1, k$ のとき、$T_{k-1}(\cos \theta) = \cos((k-1)\theta)$、$T_k(\cos \theta) = \cos(k\theta)$ であると仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、$T_{k+1}(\cos \theta) = 2\cos \theta T_k(\cos \theta) - T_{k-1}(\cos \theta)$ を考える。

仮定より、$T_{k+1}(\cos \theta) = 2\cos \theta \cos(k\theta) - \cos((k-1)\theta)$

ここで、三角関数の積和の公式 $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ を用いると、

$2\cos \theta \cos(k\theta) = \cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta)$

したがって、$T_{k+1}(\cos \theta) = \cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) - \cos((k-1)\theta) = \cos((k+1)\theta)$

したがって、数学的帰納法により、$T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $T_n(x)$ は $x$ の $n$ 次式である。

(2) $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ である。