問題1.4では、次の2つの直線の方程式を求める必要があります。 (1) 点(1, 2, 3)を通り、ベクトル$a = (0, -1, 2)$に平行な直線。 (2) 2点(2, 0, 5)と(2, -2, 3)を通る直線。

1. 問題の内容

問題1.4では、次の2つの直線の方程式を求める必要があります。

(1) 点(1, 2, 3)を通り、ベクトル$a = (0, -1, 2)$に平行な直線。

(2) 2点(2, 0, 5)と(2, -2, 3)を通る直線。

2. 解き方の手順

(1) 点(1, 2, 3)を通り、ベクトル$a = (0, -1, 2)$に平行な直線

直線のベクトル方程式は、点$P_0(x_0, y_0, z_0)$を通り、方向ベクトル$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$に平行な場合、$\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{a}$で表されます。

ここで、$\vec{p} = (x, y, z)$, $\vec{p_0} = (x_0, y_0, z_0)$、tはパラメータです。

この問題の場合、$P_0(1, 2, 3)$、$\vec{a} = (0, -1, 2)$なので、ベクトル方程式は次のようになります。

$(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(0, -1, 2)$

これを成分ごとに書くと、

$x = 1 + 0t = 1$

$y = 2 - t$

$z = 3 + 2t$

したがって、媒介変数表示は

$x = 1$

$y = 2 - t$

$z = 3 + 2t$

となります。

(2) 2点(2, 0, 5)と(2, -2, 3)を通る直線

2点$P_1(x_1, y_1, z_1)$と$P_2(x_2, y_2, z_2)$を通る直線のベクトル方程式は、

$\vec{p} = \vec{p_1} + t(\vec{p_2} - \vec{p_1})$で表されます。

ここで、$\vec{p} = (x, y, z)$, $\vec{p_1} = (x_1, y_1, z_1)$, $\vec{p_2} = (x_2, y_2, z_2)$、tはパラメータです。

この問題の場合、$P_1(2, 0, 5)$、$P_2(2, -2, 3)$なので、ベクトル方程式は次のようになります。

$(x, y, z) = (2, 0, 5) + t((2, -2, 3) - (2, 0, 5))$

$(x, y, z) = (2, 0, 5) + t(0, -2, -2)$

これを成分ごとに書くと、

$x = 2 + 0t = 2$

$y = 0 - 2t = -2t$

$z = 5 - 2t$

したがって、媒介変数表示は

$x = 2$

$y = -2t$

$z = 5 - 2t$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 点(1, 2, 3)を通り、ベクトル$a = (0, -1, 2)$に平行な直線の方程式：

$x = 1$

$y = 2 - t$

$z = 3 + 2t$

(2) 2点(2, 0, 5)と(2, -2, 3)を通る直線の方程式：

$x = 2$

$y = -2t$

$z = 5 - 2t$