問題は以下の3つの小問から構成されます。 (1) 1辺が $x$ cmの立方体の表面積 $y$ cm²を、$x$の式で表し、$y$が$x^2$に比例することを示し、比例定数を求めます。 (2) 円周が $x$ cmの円の面積 $y$ cm²を、$x$の式で表し、$y$が$x^2$に比例することを示し、比例定数を求めます。ただし、円の半径を $r$ cmとします。 (3) 1辺が $x$ cmの正三角形の面積 $y$ cm²を、$x$の式で表し、$y$が$x^2$に比例することを示し、比例定数を求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの小問から構成されます。

(1) 1辺が $x$ cmの立方体の表面積 $y$ cm²を、$x$の式で表し、$y$が$x^2$に比例することを示し、比例定数を求めます。

(2) 円周が $x$ cmの円の面積 $y$ cm²を、$x$の式で表し、$y$が$x^2$に比例することを示し、比例定数を求めます。ただし、円の半径を $r$ cmとします。

(3) 1辺が $x$ cmの正三角形の面積 $y$ cm²を、$x$の式で表し、$y$が$x^2$に比例することを示し、比例定数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 立方体の表面積

立方体の1つの面の面積は$x^2$です。立方体は6つの面を持つので、表面積 $y$ は $y = 6x^2$となります。

$y$ は $x^2$ に比例し、比例定数は6です。

(2) 円の面積

円周 $x$ と半径 $r$ の関係は、$x = 2\pi r$です。したがって、$r = \frac{x}{2\pi}$となります。

円の面積 $y$ は $y = \pi r^2$です。$r = \frac{x}{2\pi}$を代入すると、$y = \pi (\frac{x}{2\pi})^2 = \pi \frac{x^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi}x^2$となります。

$y$ は $x^2$ に比例し、比例定数は $\frac{1}{4\pi}$です。

(3) 正三角形の面積

正三角形の高さ $h$ を求めます。正三角形の頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、三角形ABHは直角三角形になります。$AH = h$、$BH = \frac{x}{2}$、$AB = x$なので、ピタゴラスの定理より、$h^2 + (\frac{x}{2})^2 = x^2$、$h^2 = x^2 - \frac{x^2}{4} = \frac{3}{4}x^2$、$h = \sqrt{\frac{3}{4}x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$となります。

正三角形の面積 $y$ は $y = \frac{1}{2} \times x \times h = \frac{1}{2} \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$となります。

$y$ は $x^2$ に比例し、比例定数は $\frac{\sqrt{3}}{4}$です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 6x^2$、比例定数：6

(2) $y = \frac{1}{4\pi}x^2$、比例定数：$\frac{1}{4\pi}$

(3) $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$、比例定数：$\frac{\sqrt{3}}{4}$