## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

この問題は、以下の４つの小問から構成されています。

(1) 連立方程式 $\begin{cases} \frac{2x-y}{4} = y+2 \\ x+y=2 \end{cases}$ を解く。

(2) $3x^3 - 48x$ を因数分解する。

(3) $(x-1)(x-3) - 15 = 0$ を解く。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} x+2y>4 \\ 2x-y>-1 \end{cases}$ の解の集合を図示する。

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2. 解き方の手順

(1) **連立方程式を解く**

まず、連立方程式 $\begin{cases} \frac{2x-y}{4} = y+2 \\ x+y=2 \end{cases}$ を解きます。

１つ目の式を変形します。

$2x - y = 4(y + 2)$

$2x - y = 4y + 8$

$2x - 5y = 8$...(1')

２つ目の式を $x = 2 - y$ として、(1') に代入します。

$2(2 - y) - 5y = 8$

$4 - 2y - 5y = 8$

$-7y = 4$

$y = -\frac{4}{7}$

これを $x = 2 - y$ に代入して $x$ を求めます。

$x = 2 - (-\frac{4}{7}) = 2 + \frac{4}{7} = \frac{14}{7} + \frac{4}{7} = \frac{18}{7}$

(2) **因数分解**

$3x^3 - 48x$ を因数分解します。

まず、$3x$ でくくりだします。

$3x^3 - 48x = 3x(x^2 - 16)$

次に、$x^2 - 16$ を $(x-4)(x+4)$ と因数分解します。

$3x(x^2 - 16) = 3x(x-4)(x+4)$

(3) **二次方程式を解く**

$(x-1)(x-3) - 15 = 0$ を解きます。

式を展開します。

$x^2 - 3x - x + 3 - 15 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

因数分解します。

$(x-6)(x+2) = 0$

よって、$x = 6, -2$

(4) **連立不等式を図示する**

連立不等式 $\begin{cases} x+2y>4 \\ 2x-y>-1 \end{cases}$ を図示します。

まず、それぞれの不等式を $y$ について解きます。

１つ目の不等式：

$x+2y>4$

$2y>-x+4$

$y>-\frac{1}{2}x+2$

２つ目の不等式：

$2x-y>-1$

$-y>-2x-1$

$y<2x+1$

したがって、連立不等式は $\begin{cases} y>-\frac{1}{2}x+2 \\ y<2x+1 \end{cases}$ となります。

これらの不等式に対応する直線をグラフに描き、不等号の向きに従って領域を塗ります。$y > -\frac{1}{2}x + 2$ は直線 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ の上側、$y < 2x + 1$ は直線 $y = 2x + 1$ の下側になります。２つの領域が重なる部分が、解の領域です。

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3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{18}{7}, y = -\frac{4}{7}$

(2) $3x(x-4)(x+4)$

(3) $x = 6, -2$

(4) 解の領域は、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ の上側かつ直線 $y = 2x + 1$ の下側の領域です。グラフ上に図示する必要があります。