2つの円OとO'が2点A, Bで交わっている。円Oの周上に点Pを取り、点PとA, Bを結び、それらを延長したものが円O'と交わる点をC, Dとする。このとき、点Pにおける接線PTがCDに平行であることを証明せよ。

1. 問題の内容

2つの円OとO'が2点A, Bで交わっている。円Oの周上に点Pを取り、点PとA, Bを結び、それらを延長したものが円O'と交わる点をC, Dとする。このとき、点Pにおける接線PTがCDに平行であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Oにおいて、接弦定理より$\angle TPA = \angle PBA$が成り立つ。

(2) 円O'において、円周角の定理より$\angle CBA = \angle CDA$が成り立つ。

(3) $\angle PBA = \angle CBA$なので、(1)と(2)より$\angle TPA = \angle CDA$が成り立つ。

(4) $\angle TPA$と$\angle CDA$は同位角であり、$\angle TPA = \angle CDA$が成り立つので、PT // CDである。

3. 最終的な答え

したがって、点Pにおける接線PTはCDに平行である。