与えられた数学の問題を解く。具体的には、以下の問題が含まれる。 * (11) $\int (2x+1)e^{-x}dx$ * (12) $\int (x^2+1)\cos(2x)dx$ * (13) $\int (\log x)^2dx$ * (14) $\int \tan^{-1}x dx$ * (15) $\int e^x\sin xdx$ * (問題2-1) $\frac{d}{dx} \int_{\sqrt{x}}^{x^3} f(t) dt$ を求める。 * (問題2-2) $\frac{d^2}{dx^2} \int_0^x (x-t)f(t) dt$ を求める。 * (問題3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。具体的には、以下の問題が含まれる。

* (11) $\int (2x+1)e^{-x}dx$

* (12) $\int (x^2+1)\cos(2x)dx$

* (13) $\int (\log x)^2dx$

* (14) $\int \tan^{-1}x dx$

* (15) $\int e^x\sin xdx$

* (問題2-1) $\frac{d}{dx} \int_{\sqrt{x}}^{x^3} f(t) dt$ を求める。

* (問題2-2) $\frac{d^2}{dx^2} \int_0^x (x-t)f(t) dt$ を求める。

* (問題3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(11) $\int (2x+1)e^{-x}dx$

部分積分を用いる。$u = 2x+1$, $dv = e^{-x}dx$ とすると、$du = 2dx$, $v = -e^{-x}$.

$\int (2x+1)e^{-x}dx = -(2x+1)e^{-x} - \int -2e^{-x}dx = -(2x+1)e^{-x} - 2e^{-x} + C = -(2x+3)e^{-x} + C$

(12) $\int (x^2+1)\cos(2x)dx$

部分積分を2回用いる。まず $u=x^2+1$, $dv=\cos(2x)dx$ とすると、$du=2xdx$, $v=\frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int (x^2+1)\cos(2x)dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\sin(2x) - \int x\sin(2x)dx$

次に、$\int x\sin(2x)dx$ を計算する。$u=x$, $dv=\sin(2x)dx$ とすると、$du=dx$, $v=-\frac{1}{2}\cos(2x)$.

$\int x\sin(2x)dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) - \int -\frac{1}{2}\cos(2x)dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

したがって、

$\int (x^2+1)\cos(2x)dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\sin(2x) - (-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)) + C = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x) - \frac{1}{4}\sin(2x) + C = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x) + C$

(13) $\int (\log x)^2dx$

部分積分を2回用いる。$u=(\log x)^2$, $dv=dx$ とすると、$du=2\frac{\log x}{x}dx$, $v=x$.

$\int (\log x)^2dx = x(\log x)^2 - \int 2\log xdx = x(\log x)^2 - 2\int \log xdx$

次に、$\int \log xdx$ を計算する。$u=\log x$, $dv=dx$ とすると、$du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$.

$\int \log xdx = x\log x - \int dx = x\log x - x + C$

したがって、

$\int (\log x)^2dx = x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + C$

(14) $\int \tan^{-1}x dx$

部分積分を用いる。$u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2}dx$, $v = x$.

$\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2}dx$

$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

したがって、

$\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

(15) $\int e^x\sin xdx$

部分積分を2回用いる。$u=\sin x$, $dv=e^xdx$ とすると、$du=\cos xdx$, $v=e^x$.

$\int e^x\sin xdx = e^x\sin x - \int e^x\cos xdx$

次に、$\int e^x\cos xdx$ を計算する。$u=\cos x$, $dv=e^xdx$ とすると、$du=-\sin xdx$, $v=e^x$.

$\int e^x\cos xdx = e^x\cos x - \int e^x(-\sin x)dx = e^x\cos x + \int e^x\sin xdx$

したがって、

$\int e^x\sin xdx = e^x\sin x - (e^x\cos x + \int e^x\sin xdx)$

$2\int e^x\sin xdx = e^x\sin x - e^x\cos x + C$

$\int e^x\sin xdx = \frac{1}{2}(e^x\sin x - e^x\cos x) + C$

(問題2-1) $\frac{d}{dx} \int_{\sqrt{x}}^{x^3} f(t) dt$

微積分学の基本定理と合成関数の微分を用いる。

$\frac{d}{dx} \int_{\sqrt{x}}^{x^3} f(t) dt = f(x^3)\cdot\frac{d}{dx}x^3 - f(\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}\sqrt{x} = 3x^2f(x^3) - \frac{1}{2\sqrt{x}}f(\sqrt{x})$

(問題2-2) $\frac{d^2}{dx^2} \int_0^x (x-t)f(t) dt$

$\int_0^x (x-t)f(t) dt = \int_0^x xf(t) dt - \int_0^x tf(t) dt = x\int_0^x f(t) dt - \int_0^x tf(t) dt$

$\frac{d}{dx}\int_0^x (x-t)f(t) dt = \int_0^x f(t) dt + xf(x) - xf(x) = \int_0^x f(t) dt$

$\frac{d^2}{dx^2}\int_0^x (x-t)f(t) dt = \frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)$

(問題3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1-(\frac{k}{n})^2}$

これはリーマン積分の定義である。$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx$ を計算すればよい。

$x = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta d\theta$. $x: 0\to 1$ ならば $\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2\theta}\cos\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = [\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

* (11) $-(2x+3)e^{-x} + C$

* (12) $\frac{1}{2}x^2\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x) + C$

* (13) $x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + C$

* (14) $x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

* (15) $\frac{1}{2}(e^x\sin x - e^x\cos x) + C$

* (問題2-1) $3x^2f(x^3) - \frac{1}{2\sqrt{x}}f(\sqrt{x})$

* (問題2-2) $f(x)$

* (問題3) $\frac{\pi}{4}$