$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x - \pi = t$ とおくと、$x = t + \pi$となり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin (t + \pi)}{t}$

三角関数の加法定理より、$\sin (t + \pi) = \sin t \cos \pi + \cos t \sin \pi = \sin t \cdot (-1) + \cos t \cdot 0 = -\sin t$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin (t + \pi)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t} = - \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であるから、

$- \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = -1$

3. 最終的な答え

-1