与えられた関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。以下の5つの微分を求める必要があります。 1. $\{(x^3 + 1)(x^2 - 1)\}'$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。以下の5つの微分を求める必要があります。

1. $\{(x^3 + 1)(x^2 - 1)\}'$

2. $\{e^x(x^2 - 2x)\}'$

3. $\{(x^2 + 3x)\log|x|\}'$

4. $\{\sqrt{x\sqrt{x+1}}\}'$

5. $\{\sqrt{x}(x^2-2x)\}'$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解いていきます。

1. 積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ や、合成関数の微分法 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ などの公式を適用します。

2. 計算を整理し、与えられた形式に合うように変形します。

3. 空欄に当てはまる数字を求めます。

(1) $\{(x^3 + 1)(x^2 - 1)\}' = (x^3 + 1)'(x^2 - 1) + (x^3 + 1)(x^2 - 1)' = 3x^2(x^2 - 1) + (x^3 + 1)(2x) = 3x^4 - 3x^2 + 2x^4 + 2x = 5x^4 - 3x^2 + 2x = 5x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 2x + 0$.

したがって、

(1) = 5

(2) = 4

(3) = 3

(4) = 2

(5) = 2

(2) $\{e^x(x^2 - 2x)\}' = (e^x)'(x^2 - 2x) + e^x(x^2 - 2x)' = e^x(x^2 - 2x) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2x + 2x - 2) = e^x(x^2 - 2)$.

したがって、

(6) = 2

(7) = 2

(3) $\{(x^2 + 3x)\log|x|\}' = (x^2 + 3x)'\log|x| + (x^2 + 3x)(\log|x|)' = (2x + 3)\log|x| + (x^2 + 3x)\frac{1}{x} = (2x + 3)\log|x| + x + 3 = x+3 + (2x+3)\log|x|$.

したがって、

(8) = 3

(9) = 2

(10) = 3

(4) $\{\sqrt{x\sqrt{x+1}}\}' = \{\sqrt{x}(x+1)^{1/4}\}' = \frac{1}{2}(x\sqrt{x+1})^{-1/2}(\sqrt{x+1} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}}) = \frac{1}{2\sqrt{x\sqrt{x+1}}}(\frac{2(x+1)+x}{2\sqrt{x+1}}) = \frac{3x+2}{4\sqrt{x}\sqrt{x+1}\sqrt{x+1}} = \frac{3x+2}{4x(x+1)}\sqrt{x\sqrt{x+1}}$.

したがって、

(11) = 3

(12) = 2

(13) = 4

(5) $\{\sqrt{x}(x^2-2x)\}' = \{x^{1/2}(x^2-2x)\}' = \frac{1}{2}x^{-1/2}(x^2-2x) + x^{1/2}(2x-2) = \frac{x^2-2x}{2\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}(2x-2)}{2} = \frac{x^2-2x+2x(2x-2)}{2\sqrt{x}} = \frac{x^2-2x+4x^2-4x}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2-6x}{2\sqrt{x}}$.

したがって、

(14) = 5

(15) = 6

(16) = 2

3. 最終的な答え

1. 5 4 - 3 2 + 2

2. 2 2

3. 3 2 3

4. 3 2 / 4

5. 5 6 / 2