与えられた4つの極限値を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ (2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}$ (3) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin (x-a)}$ (4) $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}$

(3) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin (x-a)}$

(4) $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ を計算します。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 5x}{\sin 2x} = \frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \frac{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

(2)

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}$ を計算します。$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ を利用します。

$\frac{1-\cos 3\theta}{\theta^2} = \frac{2\sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2} = 2 \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\theta} \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\theta}$

$= 2 \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot (\frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}})^2$

よって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos 3\theta}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot (\frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}})^2 = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot 1^2 = \frac{9}{2}$

(3)

$\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin (x-a)}$ を計算します。和積の公式 $\sin x - \sin a = 2 \cos \frac{x+a}{2} \sin \frac{x-a}{2}$ を利用します。

$\frac{\sin x - \sin a}{\sin (x-a)} = \frac{2 \cos \frac{x+a}{2} \sin \frac{x-a}{2}}{\sin (x-a)}$

$\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin (x-a)} = \lim_{x \to a} \frac{2 \cos \frac{x+a}{2} \sin \frac{x-a}{2}}{\sin (x-a)} = \lim_{x \to a} 2 \cos \frac{x+a}{2} \cdot \frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\sin (x-a)}$

ここで、$y = x-a$ とすると、$x \to a$ のとき $y \to 0$。

$\lim_{y \to 0} 2 \cos (\frac{y}{2}+a) \cdot \frac{\sin \frac{y}{2}}{\sin y} = \lim_{y \to 0} 2 \cos (\frac{y}{2}+a) \cdot \frac{\frac{\sin \frac{y}{2}}{y}}{\frac{\sin y}{y}}$

$= 2 \cos a \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1} = \cos a$

(4)

$\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$ を計算します。$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} ((1+2x)^{\frac{1}{2x}})^2 = (\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{2x}})^2 = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $\cos a$

(4) $e^2$