実数 $x$ に対して、無限級数 $x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数 $x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項が $x$ で公比が $\frac{1}{1+x-x^2}$ である等比級数に $x$ を加えたものです。等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ が収束するための必要十分条件は $|r| < 1$ であることを利用します。

まず、等比級数 $\frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$ の収束条件を考えます。初項は $\frac{x}{1+x-x^2}$ で、公比は $\frac{1}{1+x-x^2}$ です。よって、収束するための条件は

$$\left| \frac{1}{1+x-x^2} \right| < 1$$

すなわち、

$$|1+x-x^2| > 1$$

です。これを解きます。

$1+x-x^2 > 1$ のとき、 $x-x^2 > 0$ より $x(1-x) > 0$ なので、$0 < x < 1$ です。

$1+x-x^2 < -1$ のとき、 $x-x^2 < -2$ より $x^2 - x - 2 > 0$ なので、$(x-2)(x+1) > 0$ となり、$x < -1$ または $x > 2$ です。

したがって、収束条件は $x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ です。

次に、等比級数の和を求めます。収束するとき、和は

$$\frac{\frac{x}{1+x-x^2}}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{\frac{x}{1+x-x^2}}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{x-x^2} = \frac{x}{x(1-x)} = \frac{1}{1-x}$$

となります。

したがって、元の無限級数の和は

$$x + \frac{1}{1-x}$$

となります。

3. 最終的な答え

無限級数が収束する $x$ の範囲は $x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ であり、そのときの無限級数の和は $x + \frac{1}{1-x}$ です。