曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ から引かれた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ から引かれた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - x$ の導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 1$

次に、接点を $(t, t^3 - t)$ とおきます。

接点における接線の傾きは $y'(t) = 3t^2 - 1$ となります。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(x - t)$

この接線が点 $(1, -1)$ を通ることから、

$-1 - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(1 - t)$

$-1 - t^3 + t = 3t^2 - 1 - 3t^3 + t$

$2t^3 - 3t^2 = 0$

$t^2(2t - 3) = 0$

よって、$t = 0$ または $t = \frac{3}{2}$ となります。

(i) $t = 0$ のとき、接点は $(0, 0)$ であり、接線の傾きは $3(0)^2 - 1 = -1$ なので、接線の方程式は $y - 0 = -1(x - 0)$ より $y = -x$ となります。

(ii) $t = \frac{3}{2}$ のとき、接点は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 - \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} - \frac{12}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ であり、接線の傾きは $3(\frac{3}{2})^2 - 1 = \frac{27}{4} - 1 = \frac{23}{4}$ なので、接線の方程式は $y - \frac{15}{8} = \frac{23}{4}(x - \frac{3}{2})$ より $y = \frac{23}{4}x - \frac{69}{8} + \frac{15}{8} = \frac{23}{4}x - \frac{54}{8} = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = -x$ のとき、接点は $(0, 0)$

接線の方程式が $y = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ のとき、接点は $(\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$