次の関数を $x$ について微分する問題です。 (1) $y = 2 \log x$ (2) $y = \sqrt{x^3 + 1}$ (3) $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ (4) $y = \frac{1}{2} \log |\frac{1+x}{1-x}|$ (5) $y = e^{-x} \cos x$

1. 問題の内容

次の関数を $x$ について微分する問題です。

(1) $y = 2 \log x$

(2) $y = \sqrt{x^3 + 1}$

(3) $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$

(4) $y = \frac{1}{2} \log |\frac{1+x}{1-x}|$

(5) $y = e^{-x} \cos x$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2 \log x$ の微分

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ なので、

$y' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

(2) $y = \sqrt{x^3 + 1}$ の微分

$y = (x^3 + 1)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えて、合成関数の微分法を使う。

$y' = \frac{1}{2} (x^3 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

(3) $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ の微分

商の微分法を使う。

$y' = \frac{(\sin x)' (\sin x + \cos x) - (\sin x) (\sin x + \cos x)'}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\cos x (\sin x + \cos x) - \sin x (\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\cos x \sin x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

(4) $y = \frac{1}{2} \log |\frac{1+x}{1-x}|$ の微分

$y = \frac{1}{2} (\log |1+x| - \log |1-x|)$ と書き換える。

$y' = \frac{1}{2} (\frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}) = \frac{1}{2} (\frac{1-x + 1+x}{(1+x)(1-x)}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{1-x^2}) = \frac{1}{1-x^2}$

(5) $y = e^{-x} \cos x$ の微分

積の微分法を使う。

$y' = (e^{-x})' \cos x + e^{-x} (\cos x)' = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x = -e^{-x} (\cos x + \sin x)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{2}{x}$

(2) $y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

(3) $y' = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

(4) $y' = \frac{1}{1-x^2}$

(5) $y' = -e^{-x} (\cos x + \sin x)$