定積分 $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分記号の外に定数3を移動します。

$\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx = 3\int_{1}^{e^3} \frac{1}{x} dx$

次に、$\frac{1}{x}$の積分は$\ln|x|$であることを思い出してください。したがって、

$3\int_{1}^{e^3} \frac{1}{x} dx = 3[\ln|x|]_{1}^{e^3}$

次に、積分範囲を使用して、積分結果を評価します。

$3[\ln|x|]_{1}^{e^3} = 3(\ln(e^3) - \ln(1))$

$\ln(e^3) = 3$と$\ln(1) = 0$なので

$3(\ln(e^3) - \ln(1)) = 3(3 - 0) = 3(3) = 9$

3. 最終的な答え

9