## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の4つの定積分を計算します。

1. $\int_{-3}^{3} x^3 dx$

2. $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx$

3. $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$

4. $\int_{1}^{3} e^x dx$

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2. 解き方の手順

1. $\int_{-3}^{3} x^3 dx$ の計算

被積分関数 $f(x) = x^3$ は奇関数（$f(-x) = -f(x)$）であり、積分区間が原点に関して対称なので、積分値は0になります。

または、積分を計算することもできます。

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$

$\int_{-3}^{3} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{81}{4} = 0$

2. $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx$ の計算

まず、不定積分を計算します。

$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx = \left[ x^2 + x \right]_{-1}^{3} = (3^2 + 3) - ((-1)^2 + (-1)) = (9 + 3) - (1 - 1) = 12 - 0 = 12$

3. $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx$ の計算

$\int \frac{3}{x} dx = 3 \int \frac{1}{x} dx = 3 \ln|x| + C$

$\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx = \left[ 3 \ln|x| \right]_{1}^{e^3} = 3 \ln(e^3) - 3 \ln(1) = 3 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 9 - 0 = 9$

4. $\int_{1}^{3} e^x dx$ の計算

$\int e^x dx = e^x + C$

$\int_{1}^{3} e^x dx = \left[ e^x \right]_{1}^{3} = e^3 - e^1 = e^3 - e$

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3. 最終的な答え

1. $\int_{-3}^{3} x^3 dx = 0$

2. $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx = 12$

3. $\int_{1}^{e^3} \frac{3}{x} dx = 9$

4. $\int_{1}^{3} e^x dx = e^3 - e$