以下の4つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{-3}^{3} x^3 dx$ (2) $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx$ (3) $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} dx$ (4) $\int_{1}^{3} e^x dx$

以下に、画像に含まれる4つの定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{-3}^{3} x^3 dx$

(2) $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx$

(3) $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} dx$

(4) $\int_{1}^{3} e^x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-3}^{3} x^3 dx$

$x^3$ は奇関数なので、積分区間が原点に関して対称であることから、この定積分の値は0になります。

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ (ただし、$f(x)$は奇関数)

$x^3$の原始関数は $\frac{x^4}{4}$ なので、

$\int_{-3}^{3} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{81}{4} = 0$

(2) $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx$

$2x+1$の原始関数は $x^2 + x$ なので、

$\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx = \left[ x^2 + x \right]_{-1}^{3} = (3^2 + 3) - ((-1)^2 + (-1)) = (9 + 3) - (1 - 1) = 12 - 0 = 12$

(3) $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} dx$

$\frac{3}{x}$の原始関数は $3\ln|x|$ なので、

$\int_{1}^{3} \frac{3}{x} dx = \left[ 3\ln|x| \right]_{1}^{3} = 3\ln(3) - 3\ln(1) = 3\ln(3) - 3 \cdot 0 = 3\ln(3)$

(4) $\int_{1}^{3} e^x dx$

$e^x$ の原始関数は $e^x$ なので、

$\int_{1}^{3} e^x dx = \left[ e^x \right]_{1}^{3} = e^3 - e^1 = e^3 - e$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{-3}^{3} x^3 dx = 0$

(2) $\int_{-1}^{3} (2x + 1) dx = 12$

(3) $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} dx = 3\ln(3)$

(4) $\int_{1}^{3} e^x dx = e^3 - e$