関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax & (x \geq 2) \\ \beta x^2 - ax & (x < 2) \end{cases}$ この関数 $f(x)$ が $x = 2$ で微分可能となるような定数 $\alpha$ と $\beta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題5を解きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

x^3 + ax & (x \geq 2) \\

\beta x^2 - ax & (x < 2)

\end{cases}$

この関数 $f(x)$ が $x = 2$ で微分可能となるような定数 $\alpha$ と $\beta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = 2$ で微分可能であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(x)$ が $x = 2$ で連続であること。

(2) $f(x)$ の $x = 2$ における左側微分係数と右側微分係数が一致すること。

(1) 連続性について:

$x = 2$ で連続であるためには、

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$

である必要があります。

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = (2)^3 + a(2) = 8 + 2a$

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \beta (2)^2 - a(2) = 4\beta - 2a$

したがって、$8 + 2a = 4\beta - 2a$

$4a + 8 = 4\beta$

$a + 2 = \beta$ ...(1)

(2) 微分可能性について:

$x \geq 2$ のとき、$f(x) = x^3 + ax$ より、$f'(x) = 3x^2 + a$

$x < 2$ のとき、$f(x) = \beta x^2 - ax$ より、$f'(x) = 2\beta x - a$

$x = 2$ における右側微分係数は、

$\lim_{x \to 2^+} f'(x) = 3(2)^2 + a = 12 + a$

$x = 2$ における左側微分係数は、

$\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 2\beta (2) - a = 4\beta - a$

したがって、$12 + a = 4\beta - a$

$2a + 12 = 4\beta$

$a + 6 = 2\beta$ ...(2)

(1)式と(2)式から $\alpha$ と $\beta$ の値を求めます。

(2) - (1): $(a + 6) - (a + 2) = 2\beta - \beta$

$4 = \beta$

$\beta = 4$

(1)式に代入して、$a + 2 = 4$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$\alpha = 2$

$\beta = 4$