与えられた漸化式 $I_{n+1} = \frac{1}{2n} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)I_n \right)$ と $I_1 = \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x$ を用いて、$I_3 = \int \frac{1}{(1+x^2)^3} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $I_{n+1} = \frac{1}{2n} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)I_n \right)$ と $I_1 = \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x$ を用いて、$I_3 = \int \frac{1}{(1+x^2)^3} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$I_{n+1} = \frac{1}{2n} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)I_n \right)$の式で $n=1$ とすると、

$I_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{1+x^2} + I_1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{1+x^2} + \tan^{-1}x \right)$

次に、$I_{n+1} = \frac{1}{2n} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)I_n \right)$の式で $n=2$ とすると、

$I_3 = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{(1+x^2)^2} + 3I_2 \right)$

$I_2$ を代入すると

$I_3 = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{(1+x^2)^2} + 3 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{x}{1+x^2} + \tan^{-1}x \right) \right)$

$I_3 = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{(1+x^2)^2} + \frac{3}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{3}{2} \tan^{-1}x \right)$

$I_3 = \frac{x}{4(1+x^2)^2} + \frac{3x}{8(1+x^2)} + \frac{3}{8} \tan^{-1}x$

3. 最終的な答え

$I_3 = \frac{x}{4(1+x^2)^2} + \frac{3x}{8(1+x^2)} + \frac{3}{8} \tan^{-1}x$