円周を6等分した点をA, B, C, D, E, Fとする。点Aを出発点とし、サイコロを振って偶数が出たら2、奇数が出たら1だけ時計回りに進めるゲームを考える。 (1) ちょうど1周して点Aに戻る確率を求めよ。 (2) ちょうど2周して点Aに戻る確率を求めよ。

1. 問題の内容

円周を6等分した点をA, B, C, D, E, Fとする。点Aを出発点とし、サイコロを振って偶数が出たら2、奇数が出たら1だけ時計回りに進めるゲームを考える。

(1) ちょうど1周して点Aに戻る確率を求めよ。

(2) ちょうど2周して点Aに戻る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ちょうど1周して上がる場合、合計で6進む必要がある。偶数が出る確率、奇数が出る確率はそれぞれ1/2である。

* 偶数が0回、奇数が6回の場合: 進む距離は $0 \times 2 + 6 \times 1 = 6$ 。確率は ${}_6 C_6 (1/2)^6 = (1/2)^6$

* 偶数が1回、奇数が4回の場合: 進む距離は $1 \times 2 + 4 \times 1 = 6$ 。確率は ${}_5 C_1 (1/2)^5 = 5(1/2)^5$

* 偶数が2回、奇数が2回の場合: 進む距離は $2 \times 2 + 2 \times 1 = 6$ 。確率は ${}_4 C_2 (1/2)^4 = 6(1/2)^4$

* 偶数が3回、奇数が0回の場合: 進む距離は $3 \times 2 + 0 \times 1 = 6$ 。確率は ${}_3 C_3 (1/2)^3 = (1/2)^3$

したがって、ちょうど1周して上がる確率は、

$P_1 = (1/2)^6 + 5(1/2)^5 + 6(1/2)^4 + (1/2)^3 = (1+10+24+8)/64 = 43/64$

(2) ちょうど2周して上がる場合、合計で12進む必要がある。

* 偶数が6回、奇数が0回の場合: 進む距離は $6 \times 2 + 0 \times 1 = 12$。確率は $(1/2)^6$

* 偶数が5回、奇数が2回の場合: 進む距離は $5 \times 2 + 2 \times 1 = 12$。確率は ${}_7 C_2 (1/2)^7 = 21(1/2)^7$

* 偶数が4回、奇数が4回の場合: 進む距離は $4 \times 2 + 4 \times 1 = 12$。確率は ${}_8 C_4 (1/2)^8 = 70(1/2)^8$

* 偶数が3回、奇数が6回の場合: 進む距離は $3 \times 2 + 6 \times 1 = 12$。確率は ${}_9 C_6 (1/2)^9 = 84(1/2)^9$

* 偶数が2回、奇数が8回の場合: 進む距離は $2 \times 2 + 8 \times 1 = 12$。確率は ${}_{10} C_8 (1/2)^{10} = 45(1/2)^{10}$

* 偶数が1回、奇数が10回の場合: 進む距離は $1 \times 2 + 10 \times 1 = 12$。確率は ${}_{11} C_{10} (1/2)^{11} = 11(1/2)^{11}$

* 偶数が0回、奇数が12回の場合: 進む距離は $0 \times 2 + 12 \times 1 = 12$。確率は $(1/2)^{12}$

したがって、ちょうど2周して上がる確率は、

$P_2 = (1/2)^6 + 21(1/2)^7 + 70(1/2)^8 + 84(1/2)^9 + 45(1/2)^{10} + 11(1/2)^{11} + (1/2)^{12}$

$P_2 = (1/2)^{12}(2^6 + 21 \times 2^5 + 70 \times 2^4 + 84 \times 2^3 + 45 \times 2^2 + 11 \times 2 + 1) = (64+672+1120+672+180+22+1) / 4096 = 2731/4096$

3. 最終的な答え

(1) ちょうど1周して上がる確率：43/64

(2) ちょうど2周して上がる確率：2731/4096