3つの機械X, Y, Zがある製品を製造しており、Xの製品には3%, Yの製品には2%, Zの製品には2%の不良品が含まれている。Xの製品200個, Yの製品300個, Zの製品400個を混ぜた中から1個選んだとき、それが不良品であった場合に、それが機械Zの製品である確率を求めよ。

1. 問題の内容

3つの機械X, Y, Zがある製品を製造しており、Xの製品には3%, Yの製品には2%, Zの製品には2%の不良品が含まれている。Xの製品200個, Yの製品300個, Zの製品400個を混ぜた中から1個選んだとき、それが不良品であった場合に、それが機械Zの製品である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は条件付き確率の問題であり、ベイズの定理を用いると効率的に解ける。

まず、各機械から製造された製品が不良品である確率を計算する。

* Xの製品が不良品である確率: $P(不良品|X) = 0.03$

* Yの製品が不良品である確率: $P(不良品|Y) = 0.02$

* Zの製品が不良品である確率: $P(不良品|Z) = 0.02$

次に、各機械から製造された製品が選ばれる確率を計算する。

* Xの製品が選ばれる確率: $P(X) = \frac{200}{200+300+400} = \frac{200}{900} = \frac{2}{9}$

* Yの製品が選ばれる確率: $P(Y) = \frac{300}{200+300+400} = \frac{300}{900} = \frac{1}{3}$

* Zの製品が選ばれる確率: $P(Z) = \frac{400}{200+300+400} = \frac{400}{900} = \frac{4}{9}$

不良品が選ばれる確率 $P(不良品)$ を計算する。これは、全確率の法則を用いて、各機械から選ばれる確率とその機械の製品が不良品である確率の積の和で求める。

$P(不良品) = P(不良品|X)P(X) + P(不良品|Y)P(Y) + P(不良品|Z)P(Z)$

$P(不良品) = (0.03)(\frac{2}{9}) + (0.02)(\frac{1}{3}) + (0.02)(\frac{4}{9})$

$P(不良品) = \frac{0.06}{9} + \frac{0.02}{3} + \frac{0.08}{9} = \frac{0.06 + 0.06 + 0.08}{9} = \frac{0.2}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$

求めるのは、不良品が選ばれたとき、それがZの製品である確率 $P(Z|不良品)$ である。ベイズの定理より、

$P(Z|不良品) = \frac{P(不良品|Z)P(Z)}{P(不良品)}$

$P(Z|不良品) = \frac{(0.02)(\frac{4}{9})}{\frac{1}{45}} = \frac{\frac{0.08}{9}}{\frac{1}{45}} = \frac{0.08}{9} \times 45 = 0.08 \times 5 = 0.4$

3. 最終的な答え

0.4