A君とBさんがテニスの試合をする。3ゲーム先取した方が勝者となる。各ゲームでA君が勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Bさんが勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。引き分けがないとき、A君が3勝1敗で勝者となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

A君とBさんがテニスの試合をする。3ゲーム先取した方が勝者となる。各ゲームでA君が勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Bさんが勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。引き分けがないとき、A君が3勝1敗で勝者となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

A君が3勝1敗で勝つ場合、A君は必ず4ゲーム目に勝つ必要があります。なぜなら、もし4ゲーム目以前にA君が3勝していたら、その時点でA君が勝者となり試合が終わってしまうからです。したがって、1ゲーム目から3ゲーム目までの間にA君が2勝し、B君が1勝し、4ゲーム目にA君が勝つという確率を計算します。

1ゲーム目から3ゲーム目までの間にA君が2勝し、B君が1勝する組み合わせは、3回戦のうちB君がどの回に勝つかを考えることで求められます。すなわち、

- B君が1ゲーム目に勝つ

- B君が2ゲーム目に勝つ

- B君が3ゲーム目に勝つ

の3通りがあります。

各ゲームの結果は独立であるため、各場合の確率は、

$(\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3}$

で求められます。したがって、1ゲーム目から3ゲーム目までの間にA君が2勝し、B君が1勝する確率は、上記の確率に3をかけたものになります。

$3 \times (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

そして、4ゲーム目にA君が勝つ確率は$\frac{2}{3}$です。

よって、A君が3勝1敗で勝つ確率は、

$\frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$