7枚の硬貨を同時に投げたとき、ちょうど2枚が表となる確率を求めます。

1. 問題の内容

7枚の硬貨を同時に投げたとき、ちょうど2枚が表となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題として考えることができます。

硬貨を1枚投げる試行において、表が出る確率を $p = \frac{1}{2}$、裏が出る確率を $1-p = \frac{1}{2}$とします。

7枚の硬貨を投げるので、試行回数は$n=7$です。

ちょうど2枚が表となる確率を求めるので、成功回数は$k=2$です。

二項分布の確率質量関数は次の式で表されます。

$P(X=k) = {}_nC_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、${}_nC_k$は二項係数であり、${}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$で計算されます。

この問題では、$n=7$, $k=2$, $p=\frac{1}{2}$なので、それぞれの値を代入します。

${}_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

したがって、求める確率は

$P(X=2) = {}_7C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{7-2} = 21 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 21 \cdot (\frac{1}{2})^7 = 21 \cdot \frac{1}{128} = \frac{21}{128}$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{128}$