10本のひもがあり、その長さの測定値について、最初の5本の平均値は4、標準偏差は4であり、残りの5本の平均値は6、標準偏差は2である。10本すべての測定値の平均値と標準偏差を求める。

1. 問題の内容

10本のひもがあり、その長さの測定値について、最初の5本の平均値は4、標準偏差は4であり、残りの5本の平均値は6、標準偏差は2である。10本すべての測定値の平均値と標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全体の平均値を求める。最初の5本の合計は $5 \times 4 = 20$ であり、残りの5本の合計は $5 \times 6 = 30$ である。したがって、10本すべての合計は $20 + 30 = 50$ であり、平均は $50 / 10 = 5$ である。

(2) 全体の標準偏差を求める。まず、各グループの分散を求める。最初の5本の分散は $4^2 = 16$ であり、残りの5本の分散は $2^2 = 4$ である。

次に、それぞれのグループの二乗和を計算する。最初の5本の二乗和は、分散の定義より、$\sum_{i=1}^{5} (x_i - 4)^2 = 5 \times 16 = 80$。よって、$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 - 2 \times 4 \sum_{i=1}^{5} x_i + 5 \times 4^2 = 80$となる。$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 - 8 \times 20 + 5 \times 16 = 80$より、$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 80 + 160 - 80 = 160$となる。

同様に、残りの5本の二乗和は、$\sum_{i=6}^{10} (x_i - 6)^2 = 5 \times 4 = 20$。$\sum_{i=6}^{10} x_i^2 - 2 \times 6 \sum_{i=6}^{10} x_i + 5 \times 6^2 = 20$より、$\sum_{i=6}^{10} x_i^2 - 12 \times 30 + 5 \times 36 = 20$、$\sum_{i=6}^{10} x_i^2 = 20 + 360 - 180 = 200$となる。

したがって、10本すべての二乗和は $160 + 200 = 360$ となる。

全体の分散は、$\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (x_i - 5)^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i^2 - 2 \times 5 \sum_{i=1}^{10} x_i + 10 \times 5^2 = \frac{1}{10} \times 360 - 10 \times 5 + 250 = 36 - 50 + 250 = 36 - 20 \times 5 + 10 \times 25 = 10 \times (3.6 - 2.5) = 10 \times 1 = 11$。

または$\frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\frac{1}{n} \sum x_i)^2= \frac{360}{10} - 5^2 = 36 - 25 = 11$となる。

したがって、標準偏差は $\sqrt{11}$となる。

3. 最終的な答え

平均値: 5

標準偏差: $\sqrt{11}$