Aがある噂（総選挙があるかないか）を伝え、それが次々と人に伝わる。 「総選挙がある」と聞いた人が「総選挙がある」と伝える確率は0.8、「総選挙がない」と伝える確率は0.2である。 「総選挙がない」と聞いた人が「総選挙がある」と伝える確率は0.3、「総選挙がない」と伝える確率は0.7である。 噂が広まるにつれて、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合が一定値に近づくことを示し、その割合を求める。また、状態を表すベクトル $x_n$ と行列 $A$ を用いて、$x_n = A x_{n-1}$と表せる。

1. 問題の内容

Aがある噂（総選挙があるかないか）を伝え、それが次々と人に伝わる。

「総選挙がある」と聞いた人が「総選挙がある」と伝える確率は0.8、「総選挙がない」と伝える確率は0.2である。

「総選挙がない」と聞いた人が「総選挙がある」と伝える確率は0.3、「総選挙がない」と伝える確率は0.7である。

噂が広まるにつれて、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合が一定値に近づくことを示し、その割合を求める。また、状態を表すベクトル $x_n$ と行列 $A$ を用いて、$x_n = A x_{n-1}$と表せる。

2. 解き方の手順

(1) 遷移行列 $A$ を完成させる。

問題文から、以下のことがわかる。

- 「選挙あり」と聞いて「選挙あり」と伝える確率: 0.8

- 「選挙あり」と聞いて「選挙なし」と伝える確率: 0.2

- 「選挙なし」と聞いて「選挙あり」と伝える確率: 0.3

- 「選挙なし」と聞いて「選挙なし」と伝える確率: 0.7

したがって、遷移行列 $A$ は次のようになる。

$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$

(2) 定常状態（平衡状態）を求める。

定常状態では、$x_n = x_{n-1} = x$ となるので、$x = A x$ を満たす $x$ を求める。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$

この式は、次の連立方程式で表せる。

$x_1 = 0.8 x_1 + 0.3 x_2$

$x_2 = 0.2 x_1 + 0.7 x_2$

これらの式は同じ情報を表しており、$0.2 x_1 = 0.3 x_2$　となる。

したがって、$x_1 = \frac{3}{2} x_2$

また、$x_1 + x_2 = 1$ (確率の合計は1) であるから、

$\frac{3}{2} x_2 + x_2 = 1$

$\frac{5}{2} x_2 = 1$

$x_2 = \frac{2}{5} = 0.4$

$x_1 = 1 - x_2 = 1 - 0.4 = 0.6$

したがって、定常状態のベクトル $x$ は、

$x = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

噂が広まったとき、「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6 (60%)、「総選挙がない」と聞く人の割合は0.4 (40%) になる。