図のような道路において、P地点から南に向かって出発し、以下の規則に従って進む。 規則(I): 南に進んでいるとき、分岐点でサイコロを投げる。4以下の目が出たら東西の道に曲がり、5以上の目が出たら直進する。 規則(II): 東または西に進んでいるとき、分岐点に着いたら必ず南に進む。 (1) A地点に到達する確率を求める。 (2) B地点に到達する確率を求めよ。また、A,B,Cのいずれかの地点に到達したらゴールとし、A地点に到達したら1点、B地点に到達したら2点、C地点に到達したら3点を得るゲームを行う。このゲームで得られる点の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

図のような道路において、P地点から南に向かって出発し、以下の規則に従って進む。

規則(I): 南に進んでいるとき、分岐点でサイコロを投げる。4以下の目が出たら東西の道に曲がり、5以上の目が出たら直進する。

規則(II): 東または西に進んでいるとき、分岐点に着いたら必ず南に進む。

(1) A地点に到達する確率を求める。

(2) B地点に到達する確率を求めよ。また、A,B,Cのいずれかの地点に到達したらゴールとし、A地点に到達したら1点、B地点に到達したら2点、C地点に到達したら3点を得るゲームを行う。このゲームで得られる点の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) A地点に到達する場合：Pから南に進み、分岐点でサイコロを振って4以下の目が出ればA地点に到達する。サイコロの目は1から6まであり、4以下の目は1, 2, 3, 4の4つである。よって、A地点に到達する確率は4/6 = 2/3。

(2) B地点に到達する場合：Pから南に進み、分岐点でサイコロを振って5以上の目が出ると直進し、次の分岐点でサイコロを振って4以下の目が出ればB地点に到達する。5以上の目は5と6の2つなので、直進する確率は2/6 = 1/3。次の分岐点で4以下の目が出る確率は2/3である。したがって、B地点に到達する確率は(1/3) * (2/3) = 2/9。

C地点に到達する場合：Pから南に進み、分岐点でサイコロを振って5以上の目が出ると直進し、次の分岐点でサイコロを振って5以上の目が出るとC地点に到達する。Pから直進する確率は2/6 = 1/3。次の分岐点で直進する確率は1/3である。したがって、C地点に到達する確率は(1/3) * (1/3) = 1/9。

期待値の計算：

A地点に到達する確率は2/3で1点、B地点に到達する確率は2/9で2点、C地点に到達する確率は1/9で3点。したがって、得られる点の期待値は (2/3)*1 + (2/9)*2 + (1/9)*3 = 2/3 + 4/9 + 1/3 = 6/9 + 4/9 + 3/9 = 13/9。

3. 最終的な答え

(1) A地点に到達する確率：2/3

(2) B地点に到達する確率：2/9、期待値：13/9