ある噂（「総選挙がある」または「総選挙がない」）が人から人へと伝わる際、伝わる確率が変化する。 「総選挙がある」と聞いた人が他人に「総選挙がある」と伝える確率は0.8、「総選挙がない」と伝える確率は0.2である。 「総選挙がない」と聞いた人が他人に「総選挙がある」と伝える確率は0.3、「総選挙がない」と伝える確率は0.7である。 噂が伝播していくと、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示す問題である。 また、$x_n$ と $x_{n-1}$ の関係を表す行列 $A$ を求める。

1. 問題の内容

ある噂（「総選挙がある」または「総選挙がない」）が人から人へと伝わる際、伝わる確率が変化する。

「総選挙がある」と聞いた人が他人に「総選挙がある」と伝える確率は0.8、「総選挙がない」と伝える確率は0.2である。

「総選挙がない」と聞いた人が他人に「総選挙がある」と伝える確率は0.3、「総選挙がない」と伝える確率は0.7である。

噂が伝播していくと、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示す問題である。

また、$x_n$ と $x_{n-1}$ の関係を表す行列 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、問題文の情報から行列 $A$ を構成する。

$x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$

であり、$x_n = A x_{n-1}$ と表される。

問題文から、

- 「総選挙がある」と聞いた人が「総選挙がある」と伝える確率は0.8

- 「総選挙がない」と聞いた人が「総選挙がある」と伝える確率は0.3

- 「総選挙がある」と聞いた人が「総選挙がない」と伝える確率は0.2

- 「総選挙がない」と聞いた人が「総選挙がない」と伝える確率は0.7

これらを用いて行列Aを構成する。

$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$

次に、定常状態を求める。定常状態では、$x_n = x_{n-1}$ であるため、$x = A x$ となるベクトル $x$ を求める。

$x = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ とすると、

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$

これは、

$a = 0.8a + 0.3b$

$b = 0.2a + 0.7b$

という連立方程式になる。

変形すると、

$0.2a = 0.3b$

$0.3b = 0.2a$

さらに、$a + b = 1$（確率の合計は1）という条件があるので、

$a = 0.6$

$b = 0.4$

したがって、

$x = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6、「総選挙がない」と聞く人の割合は0.4となる。

行列$A$は $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$ である。