$AB = 3cm$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 90^\circ$の直角三角形ABCがある。辺BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。円周率は$\pi$とする。

1. 問題の内容

$AB = 3cm$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 90^\circ$の直角三角形ABCがある。辺BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。円周率は$\pi$とする。

2. 解き方の手順

直角三角形ABCにおいて、$AB = 3$、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 90^\circ$であるから、$\angle C = 30^\circ$。

したがって、三角形ABCは、$30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$の特別な直角三角形である。

$AB = 3$より、$BC = AB \times \cos 60^\circ = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

$AC = AB \times \sin 60^\circ = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

辺BCを軸として回転させると、円錐ができる。

円錐の底面の半径はACであり、高さはBCである。

したがって、円錐の体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (AC)^2 \times BC$となる。

$AC = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, $BC = \frac{3}{2}$を代入すると、

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 \times \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \times \pi \times \frac{9 \times 3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \times \pi \times \frac{27}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{27\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{8}\pi$