長方形ABCDがあり、MはADの中点。PはAを出発し、B, Cを通ってDまで秒速1cmで動く。Pが動き始めてからx秒後の線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、Aを含む部分の面積を$y cm^2$とする。ただし、PがAにあるときは$y=0$、PがDと重なるときは$y=40$とする。 (1) 3秒後のyの値を求めよ。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$を$x$の式で表せ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、MはADの中点。PはAを出発し、B, Cを通ってDまで秒速1cmで動く。Pが動き始めてからx秒後の線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、Aを含む部分の面積を$y cm^2$とする。ただし、PがAにあるときは$y=0$、PがDと重なるときは$y=40$とする。

(1) 3秒後のyの値を求めよ。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$を$x$の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 3秒後のyの値を求める。

Pは秒速1cmで動くので、3秒後にはAから3cmのところにいる。

このとき、Pは辺AB上にあり、$AP = 3cm$。

MはADの中点なので、$AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5cm$

三角形APMの面積を求める。

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AM = \frac{1}{2} \times 3 \times 2.5 = \frac{7.5}{2} = 3.75$

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。

PがBC上にあるとき、$5 \le x \le 13$

ABの長さは5cm, BCの長さは8cmなので、$x$秒後のPの位置はBから$(x-5)cm$のところ。

このとき、台形ABPMの面積が$y$となる。

台形の高さはABの長さなので5cm。

上底はAMの長さなので2.5cm

下底はBPの長さなので$(x-5)cm$

$y = \frac{1}{2} \times (AM + BP) \times AB = \frac{1}{2} \times (2.5 + (x-5)) \times 5 = \frac{5}{2}(x - 2.5) = \frac{5}{2}x - \frac{12.5}{2} = \frac{5}{2}x - 6.25$

よって、$y = \frac{5}{2}x - 6.25$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3.75$

(2) $y = \frac{5}{2}x - 6.25$