与えられた円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線の方程式を求める問題が4つ与えられています。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 5$、点 $P(1, 2)$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 13$、点 $P(3, -2)$ (3) 円 $x^2 + y^2 = 26$、点 $P(-5, 1)$ (4) 円 $x^2 + y^2 = 1$、点 $P(1, 0)$

1. 問題の内容

与えられた円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線の方程式を求める問題が4つ与えられています。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$、点 $P(1, 2)$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 13$、点 $P(3, -2)$

(3) 円 $x^2 + y^2 = 26$、点 $P(-5, 1)$

(4) 円 $x^2 + y^2 = 1$、点 $P(1, 0)$

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = r^2$

で与えられます。これを用いて各問題を解きます。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$、点 $P(1, 2)$

$x_1 = 1$, $y_1 = 2$, $r^2 = 5$ なので、接線の方程式は

$1 \cdot x + 2 \cdot y = 5$

すなわち

$x + 2y = 5$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 13$、点 $P(3, -2)$

$x_1 = 3$, $y_1 = -2$, $r^2 = 13$ なので、接線の方程式は

$3 \cdot x + (-2) \cdot y = 13$

すなわち

$3x - 2y = 13$

(3) 円 $x^2 + y^2 = 26$、点 $P(-5, 1)$

$x_1 = -5$, $y_1 = 1$, $r^2 = 26$ なので、接線の方程式は

$(-5) \cdot x + 1 \cdot y = 26$

すなわち

$-5x + y = 26$

(4) 円 $x^2 + y^2 = 1$、点 $P(1, 0)$

$x_1 = 1$, $y_1 = 0$, $r^2 = 1$ なので、接線の方程式は

$1 \cdot x + 0 \cdot y = 1$

すなわち

$x = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x + 2y = 5$

(2) $3x - 2y = 13$

(3) $-5x + y = 26$

(4) $x = 1$