長方形ABCDにおいて、点Mは辺ADの中点であり、AD = 5cmです。点PはAを出発し、辺AB, BC, CD上を秒速1cmでDまで移動します。点PがAを出発してからx秒後の線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積をy cm²とします。 (1) 3秒後のyの値を求めます。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表します。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点Mは辺ADの中点であり、AD = 5cmです。点PはAを出発し、辺AB, BC, CD上を秒速1cmでDまで移動します。点PがAを出発してからx秒後の線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積をy cm²とします。

(1) 3秒後のyの値を求めます。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表します。

2. 解き方の手順

(1) 3秒後のyの値を求める

点PがAを出発して3秒後、点Pは辺AB上にあり、AP = 3cmとなります。このとき、台形APMDの面積が求めるyの値となります。

台形APMDの面積は、$\frac{1}{2} \times (AP + MD) \times AD$で求められます。

AD = 5cm, MD = AD/2 = 5/2 = 2.5cm, AP = 3cmなので、

$y = \frac{1}{2} \times (3 + 2.5) \times 5 = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 5 = \frac{27.5}{2} = 13.75$

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表す

点Pが辺BC上を動くとき、$5 \leq x \leq 13$です。

このとき、点Pは点Bから(x - 5) cm進んでいます。

AB = 5cm, BC = 8cmです。

台形APMDの面積から三角形CPMの面積を引いたものがyとなります。

台形APMDの面積は、$\frac{1}{2} \times (AP + MD) \times AD$ であり、

$AP = AB = 5$cm, $MD = 2.5$cm, $AD = 5$cmであるため、台形APMDの面積は、$\frac{1}{2} \times (5 + 2.5) \times 5 = \frac{1}{2} \times 7.5 \times 5 = 18.75$ cm²です。

次に、三角形CPMの面積を求めます。

$CP = BC - BP = 8 - (x - 5) = 13 - x$

三角形CPMの面積は、$\frac{1}{2} \times CP \times CD = \frac{1}{2} \times (13 - x) \times 5 = \frac{5}{2} (13 - x)$

したがって、$y = 18.75 - \frac{5}{2} (13 - x) = 18.75 - \frac{65}{2} + \frac{5}{2} x = 18.75 - 32.5 + \frac{5}{2} x = -13.75 + \frac{5}{2} x$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{55}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3秒後のyの値: 13.75

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表す: $y = \frac{5}{2}x - \frac{55}{4}$