長方形ABCDがあり、点Mは辺ADの中点です。点PはAを出発し、辺AB, BC, CD上を秒速1cmでDまで動きます。点Pが動き始めてからx秒後における線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積をy $cm^2$とします。 (1) 3秒後のyの値を求める。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表す。

## 解答

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Mは辺ADの中点です。点PはAを出発し、辺AB, BC, CD上を秒速1cmでDまで動きます。点Pが動き始めてからx秒後における線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積をy $cm^2$とします。

(1) 3秒後のyの値を求める。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 3秒後のyの値

点Pは秒速1cmで動くので、3秒後には点Aから3cm進んだ位置にいます。この時、点Pは辺AB上にあります。

点Mは辺ADの中点なので、AM = MD = 5cm / 2 = 2.5cm です。

線分APの長さは3cmなので、AP = 3cm です。

点Aを含む部分は、三角形APMです。

三角形APMの面積は、(底辺AP * 高さAM) / 2 で求められます。

よって、y = (3 * 2.5) / 2 = 3.75

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表す。

点Pが辺BC上を動くとき、xは5cm + 8cm = 13cmまで移動した時間を超えません。

点Pが辺BC上にあるとき、$5 \le x \le 13$です。

点Pが辺AB上にあるときは、三角形APMの面積を考えましたが、点Pが辺BC上にあるときは、四角形ABMN + 三角形MPP'という面積になります。ただしP'はMからBCへ引いた垂線の足とします。

四角形ABMNの面積は、AM*AB = 2.5 * 5 = 12.5 ($cm^2$)です。

点Pの移動距離はxなので、BP = x - 5 です。なぜなら、点PはAB上に5秒間いるからです。

三角形MPP'の面積は、$MP' \times PP' / 2$で計算できます。

$MP' = AB = 5$なので、 $三角形MPP' = 5(x - 5) / 2$となります。

したがって、$y = 12.5 + \frac{5(x-5)}{2}$

$y = 12.5 + \frac{5x - 25}{2}$

$y = 12.5 + 2.5x - 12.5$

$y = 2.5x$

3. 最終的な答え

(1) 3秒後のyの値は3.75 $cm^2$ です。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、yをxの式で表すと $y = 2.5x$ $(5 \le x \le 13)$ です。