点A(-3, -1)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(-3, -1)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

接点を (s, t) とすると、接線の方程式は $sx + ty = 5$ と表せます。

この接線が点A(-3, -1)を通るので、

$s(-3) + t(-1) = 5$

$-3s - t = 5$

$t = -3s - 5$

また、接点(s, t)は円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点なので、

$s^2 + t^2 = 5$

この2つの式を連立させて解きます。

$s^2 + (-3s - 5)^2 = 5$

$s^2 + (9s^2 + 30s + 25) = 5$

$10s^2 + 30s + 20 = 0$

$s^2 + 3s + 2 = 0$

$(s + 1)(s + 2) = 0$

$s = -1, -2$

(i) s = -1 のとき

$t = -3(-1) - 5 = 3 - 5 = -2$

接線の方程式は、$-x - 2y = 5$ より、 $x + 2y + 5 = 0$

接点の座標は (-1, -2)

(ii) s = -2 のとき

$t = -3(-2) - 5 = 6 - 5 = 1$

接線の方程式は、$-2x + y = 5$ より、 $2x - y + 5 = 0$

接点の座標は (-2, 1)

3. 最終的な答え

接線の方程式と接点の座標は次の2組です。

接線： $x + 2y + 5 = 0$, 接点： $(-1, -2)$

接線： $2x - y + 5 = 0$, 接点： $(-2, 1)$