円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 3x + m$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 3x + m$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心と直線の距離が円の半径に等しいということです。

まず、円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $\sqrt{5}$ です。

次に、直線 $y = 3x + m$ を一般形に変形します。

$3x - y + m = 0$

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x - y + m = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$d = \frac{|3(0) - (0) + m|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{10}}$

円と直線が接するためには、$d$ が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しい必要があります。

$\frac{|m|}{\sqrt{10}} = \sqrt{5}$

$|m| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

したがって、$m = \pm 5\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$m = 5\sqrt{2}, -5\sqrt{2}$