点 A, B が与えられたとき、条件を満たす点 P の軌跡を求める問題です。 (1) A(-3, 0), B(3, 0) に対して、$AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点 P の軌跡を求めます。 (2) A(-1, 0), B(1, 0) に対して、$AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点 P の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

点 A, B が与えられたとき、条件を満たす点 P の軌跡を求める問題です。

(1) A(-3, 0), B(3, 0) に対して、$AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点 P の軌跡を求めます。

(2) A(-1, 0), B(1, 0) に対して、$AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点 P の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 P の座標を $(x, y)$ とします。

$AP^2 = (x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = (x + 3)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x - 3)^2 + y^2$

条件 $AP^2 + BP^2 = 20$ に代入すると、

$(x + 3)^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 = 20$

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 = 20$

$2x^2 + 2y^2 + 18 = 20$

$2x^2 + 2y^2 = 2$

$x^2 + y^2 = 1$

(2) 点 P の座標を $(x, y)$ とします。

$AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x + 1)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$

条件 $AP^2 - BP^2 = 1$ に代入すると、

$(x + 1)^2 + y^2 - ((x - 1)^2 + y^2) = 1$

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) - (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 1$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - x^2 + 2x - 1 - y^2 = 1$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 1$

(2) $x = \frac{1}{4}$