母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の 8 個を 1 列に並べるとき、以下の並べ方は何通りあるかを求める問題です。 (1) 両端が母音である。 (2) 母音 5 個が続いて並ぶ。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の 8 個を 1 列に並べるとき、以下の並べ方は何通りあるかを求める問題です。

(1) 両端が母音である。

(2) 母音 5 個が続いて並ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合

まず、両端の母音の選び方を考えます。5つの母音から2つ選んで並べるので、$P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、残りの6つの文字（母音3つと子音3つ）を並べる並べ方を考えます。これは、6つの文字を自由に並べる順列なので、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

よって、両端が母音である並べ方の総数は、$20 \times 720 = 14400$ 通りです。

(2) 母音 5 個が続いて並ぶ場合

まず、母音5個を1つの塊として考えます。この塊と3つの子音を並べるので、合計4つのものを並べることになります。

4つのものの並べ方は、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、母音5個の塊の中での並べ方を考えます。5つの母音を自由に並べる順列なので、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

よって、母音5個が続いて並ぶ並べ方の総数は、$24 \times 120 = 2880$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 両端が母音である並べ方は 14400 通り

(2) 母音 5 個が続いて並ぶ並べ方は 2880 通り