自然数 $n$ に対して、$7^n - 1$ が $6$ の倍数であることを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$7^n - 1$ が $6$ の倍数であることを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法の手順に従って証明する。

(1) $n = 1$ のとき：

$7^1 - 1 = 7 - 1 = 6$ となり、$6$ は $6$ の倍数であるから、$n = 1$ のとき(A)は成り立つ。

(2) $n = k$ のとき(A)が成り立つと仮定する。すなわち、$7^k - 1$ が $6$ の倍数であると仮定する。

$7^k - 1 = 6m$ (m は整数)と表せる。

$n = k + 1$ のとき、$7^{k+1} - 1$ が $6$ の倍数であることを示す。

$7^{k+1} - 1 = 7 \cdot 7^k - 1 = 7(6m + 1) - 1 = 42m + 7 - 1 = 42m + 6 = 6(7m + 1)$

$7m + 1$ は整数なので、$6(7m + 1)$ は $6$ の倍数である。

したがって、$n = k + 1$ のときも(A)は成り立つ。

(1), (2)より、すべての自然数 $n$ について、$7^n - 1$ は $6$ の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ について、$7^n - 1$ は $6$ の倍数である。

（証明終わり）