正の整数 $a, b, c$ が $a \le b \le c$ を満たし、かつ以下の等式を満たすような組 $(a, b, c)$ をすべて求める問題です。 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

正の整数 $a, b, c$ が $a \le b \le c$ を満たし、かつ以下の等式を満たすような組 $(a, b, c)$ をすべて求める問題です。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

2. 解き方の手順

$a, b, c$ は正の整数であり、$a \le b \le c$ であることに注意します。

まず、$a$ の範囲を絞ります。もし $a \ge 4$ ならば、

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1$

となるので、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ を満たしません。したがって、$a$ は 1, 2, 3 のいずれかである必要があります。

(i) $a = 1$ のとき

$\frac{1}{1} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ となり、$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ となります。これは正の整数 $b, c$ に対してはあり得ません。

(ii) $a = 2$ のとき

$\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ となり、$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ となります。

$b$ の範囲を絞ります。もし $b \ge 5$ ならば、

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$

となるので、$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ を満たしません。したがって、$b$ は 2, 3, 4 のいずれかである必要があります。$a \le b$ より、$b$ は 2, 3, 4のいずれかです。

- $b = 2$ のとき、$\frac{1}{2} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{c} = 0$ となり、これはありえません。

- $b = 3$ のとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ となり、$c = 6$ が得られます。

- $b = 4$ のとき、$\frac{1}{4} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ となり、$c = 4$ が得られます。

(iii) $a = 3$ のとき

$\frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ となり、$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}$ となります。

$b$ の範囲を絞ります。もし $b \ge 4$ ならば、

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$

となるので、$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}$ を満たしません。したがって、$b = 3$ となります。

- $b = 3$ のとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}$ より $\frac{1}{c} = \frac{1}{3}$ となり、$c = 3$ が得られます。

したがって、解は (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3) です。

3. 最終的な答え

$(a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$