## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 3$ が共有点をもたないような、$m$ の値の範囲を求める。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -2x + m$ が接するような、$m$ の値を求める。

(3) 点 A(3, 1) から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 円と直線が共有点をもたない条件**

円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $y = mx + n$ が共有点を持たない条件は、円の中心(0, 0)と直線の距離 $d$ が半径 $r$ より大きいことである。

直線の式を変形して $mx - y + 3 = 0$ とすると、円の中心(0, 0)と直線の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円の半径は $r = 1$ であるから、$d > r$ より

$\frac{3}{\sqrt{m^2 + 1}} > 1$

$3 > \sqrt{m^2 + 1}$

$9 > m^2 + 1$

$m^2 < 8$

$-\sqrt{8} < m < \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2}$

**(2) 円と直線が接する条件**

円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $y = mx + n$ が接する条件は、円の中心(0, 0)と直線の距離 $d$ が半径 $r$ に等しいことである。

直線の式を変形して $2x + y - m = 0$ とすると、円の中心(0, 0)と直線の距離 $d$ は、

$d = \frac{|2 \cdot 0 + 0 - m|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{5}}$

円の半径は $r = \sqrt{5}$ であるから、$d = r$ より

$\frac{|m|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|m| = 5$

$m = \pm 5$

**(3) 円の接線の方程式と接点の座標**

接点の座標を $(x_1, y_1)$ とすると、接線の方程式は $x_1x + y_1y = 5$ である。

接線が点 A(3, 1) を通るので、$3x_1 + y_1 = 5$ となる。

また、接点 $(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点なので、$x_1^2 + y_1^2 = 5$ である。

$y_1 = 5 - 3x_1$ を $x_1^2 + y_1^2 = 5$ に代入すると、

$x_1^2 + (5 - 3x_1)^2 = 5$

$x_1^2 + 25 - 30x_1 + 9x_1^2 = 5$

$10x_1^2 - 30x_1 + 20 = 0$

$x_1^2 - 3x_1 + 2 = 0$

$(x_1 - 1)(x_1 - 2) = 0$

$x_1 = 1, 2$

$x_1 = 1$ のとき、$y_1 = 5 - 3(1) = 2$。

$x_1 = 2$ のとき、$y_1 = 5 - 3(2) = -1$。

したがって、接線の方程式は

$x + 2y = 5$ と $2x - y = 5$ となり、

接点の座標は (1, 2) と (2, -1) である。

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3. 最終的な答え

(1) $-2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2}$

(2) $m = \pm 5$

(3) 接線の方程式: $x + 2y = 5$, $2x - y = 5$

　　接点の座標: (1, 2), (2, -1)