点O(0, 0)からの距離と点A(6, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める。点Pの座標を(x, y)とする。

## 問題7

1. 問題の内容

点O(0, 0)からの距離と点A(6, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める。点Pの座標を(x, y)とする。

2. 解き方の手順

点P(x, y)と点O(0, 0)の距離は$\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

点P(x, y)と点A(6, 0)の距離は$\sqrt{(x-6)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

問題文より、これらの距離の比が1:2なので、

$\sqrt{x^2 + y^2} : \sqrt{(x-6)^2 + y^2} = 1:2$

したがって、

$2\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$4(x^2 + y^2) = (x-6)^2 + y^2$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$

$3x^2 + 3y^2 + 12x - 36 = 0$

$x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$

$(x^2 + 4x) + y^2 = 12$

$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = 12 + 4$

$(x+2)^2 + y^2 = 16 = 4^2$

これは中心(-2, 0)、半径4の円を表す。

3. 最終的な答え

$(x+2)^2 + y^2 = 16$

## 問題8

1. 問題の内容

点Qが円$x^2 + y^2 = 4$上を動くとき、点A(4, 2)に関して点Qと対称な点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Qの座標を$(s, t)$、点Pの座標を$(x, y)$とする。

点Qは円$x^2 + y^2 = 4$上にあるので、$s^2 + t^2 = 4$

点A(4, 2)は点P(x, y)と点Q(s, t)の中点なので、

$\frac{x+s}{2} = 4$ より $x+s = 8$, したがって $s = 8 - x$

$\frac{y+t}{2} = 2$ より $y+t = 4$, したがって $t = 4 - y$

$s^2 + t^2 = 4$ に代入して、

$(8-x)^2 + (4-y)^2 = 4$

$64 - 16x + x^2 + 16 - 8y + y^2 = 4$

$x^2 - 16x + y^2 - 8y + 76 = 0$

$(x^2 - 16x) + (y^2 - 8y) = -76$

$(x^2 - 16x + 64) + (y^2 - 8y + 16) = -76 + 64 + 16$

$(x-8)^2 + (y-4)^2 = 4$

これは中心(8, 4)、半径2の円を表す。

3. 最終的な答え

$(x-8)^2 + (y-4)^2 = 4$