問題は3種類の文字 a, b, c について、以下の3つの場合について計算する問題です。 (1) 重複を許して4個だけ1列に並べる場合の並べ方の場合の数を求める。 (2) すべての文字を使い、重複を許して4個並べる場合の数を求める。 (3) 重複を許して4個取る組合せの総数を求める。

1. 問題の内容

問題は3種類の文字 a, b, c について、以下の3つの場合について計算する問題です。

(1) 重複を許して4個だけ1列に並べる場合の並べ方の場合の数を求める。

(2) すべての文字を使い、重複を許して4個並べる場合の数を求める。

(3) 重複を許して4個取る組合せの総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重複を許して4個だけ1列に並べる場合の並べ方の場合の数を求めます。

これは、3種類の文字から4個を選ぶ重複順列の問題です。

各位置に a, b, c の3つの選択肢があるので、4つの位置について $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$ となります。

(2) すべての文字を使い、重複を許して4個並べる場合の数を求めます。

これは少し難しい問題です。すべての文字を使うということは、a, b, c の少なくとも１つは必ず使わなければいけません。まず、4個並べるので、使う文字の組み合わせは次のようになります。

* a, b, c と、a, b, c のどれか１つ。 (例: aabc)

並び順を考えると、aabc のような場合は、4!/(2! * 1! * 1!) = 12 通りあります。

a, b, c から１つ選ぶ方法は３通りあるので、12 * 3 = 36通り。

次に、a, b, c を全て含むので、他のパターンはありません。

(3) 重複を許して4個取る組合せの総数を求めます。

これは、重複組合せの問題です。3種類のものから4個選ぶ場合の数なので、${}_{3}H_{4}$ で表されます。

${}_{3}H_{4} = {}_{3+4-1}C_{4} = {}_{6}C_{4} = {}_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $3^4 = 81$

(2) 36

(3) 15