右の図において、四角形ABCDは平行四辺形であり、辺ABはx軸に平行である。点A, B, Cは関数 $y = ax^2$ のグラフ上の点であり、点Eは対角線ACとBDの交点である。点Cの座標は $(-2, 2)$ であり、点Eのx座標は1である。このとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 点Aの座標を求めよ。 (3) 点Dの座標を求めよ。

1. 問題の内容

右の図において、四角形ABCDは平行四辺形であり、辺ABはx軸に平行である。点A, B, Cは関数 $y = ax^2$ のグラフ上の点であり、点Eは対角線ACとBDの交点である。点Cの座標は $(-2, 2)$ であり、点Eのx座標は1である。このとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 点Aの座標を求めよ。

(3) 点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは $y = ax^2$ のグラフ上にあるので、点Cの座標 $(-2, 2)$ をこの式に代入すると、

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{1}{2}$

(2) 点Eのx座標は1である。平行四辺形ABCDの対角線はそれぞれの中点で交わるので、点EはACの中点である。点Aのx座標を $x_A$ とすると、

$\frac{x_A + (-2)}{2} = 1$

$x_A - 2 = 2$

$x_A = 4$

点Aは $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の点なので、点Aのy座標は

$y_A = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2}(16) = 8$

したがって、点Aの座標は $(4, 8)$ である。

(3) 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、点EはBDの中点でもある。点Dの座標を $(x_D, y_D)$ とすると、点Bの座標は、点Aとy座標が等しいので、8となる。点Bは $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、

$8 = \frac{1}{2}x^2$

$16 = x^2$

$x = \pm 4$

点Aのx座標が4なので、点Bのx座標は -4 となる。したがって点Bの座標は $(-4, 8)$ である。

点EはBDの中点なので、

$\frac{x_D + (-4)}{2} = 1$

$x_D - 4 = 2$

$x_D = 6$

$\frac{y_D + 8}{2} = y_E$

ここで、$y_E$は点Eのy座標である。点Eのx座標は1なので、関数 $y = \frac{1}{2}x^2$に代入すると、

$y_E = \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}$

$\frac{y_D + 8}{2} = \frac{1}{2}$

$y_D + 8 = 1$

$y_D = -7$

したがって、点Dの座標は $(6, -7)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) 点Aの座標は $(4, 8)$

(3) 点Dの座標は $(6, -7)$